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- 2021-04-17 发布
应 县 一 中 高 二 年 级 期 中 考 试
数 学 试 题（理） 2016.10
时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨绪立
一．选择题.
1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．四面体 D．三棱柱
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
3．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C． x＝1 D．y＝2
4．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝( )
A．－7或－1 B．－7
C．7或1 D．－1
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.π B.2π
C. D.
7.过点P(－，－1)的直线l与圆
x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点A′(λ，7，－6)，则( )
A．λ＝－2，μ＝－1，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
9.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )
A.
B.
C．4π
D．2π
10．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C．∪ D．∪
11.设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为
x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
二．填空题.
13．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是________．
14．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．
15．已知直线x－y＋2＝0及直线x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．
16．若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y
轴上的截距之和的最小值是________．
三．解答题。
17.求满足下列条件的直线方程:
(1)倾斜角为直线y=-(x-1)的倾斜角的一半,且在y轴上的截距为-10.
(2)在x轴上的截距为4,而且与直线y=x-3垂直.
18．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
19.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.
(1)求证：AB∥平面PCD；
(2)求证：BC⊥平面PAC；
(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．
20.已知圆经过，并且被直线平分圆的面积.
（1）求圆的方程；
（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点，求实数的取值范围.
21.如图，已知四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b.
(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为2，求的值．
22. 已知矩形ABCD的对角线交于点P(2，0)，边AB所在直线的方程为
x－3y－6＝0，点(－1，1)在边AD所在的直线上.
(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；
(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l
的方程.
高二期中考试理数答案2016.10
1A 2C 3A 4C 5B 6D 7D 8D 9A 10B 11B 12B
13．4π 14. 4 15. 25π 16. 3＋2.
17．(1)直线y=-(x-1)的斜率为-,tanα=-得倾斜角α=120°,故所求直线的斜率k=tan60°=,直线方程为y=x-10.
(2)在x轴上的截距为4,故直线过点(4, 0),与直线y=x-3垂直,故斜率为-2,由直线的点斜式得y=-2(x-4).即：y=-2x+8
18．解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得
∴直线l恒过定点(－2,3)．
(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，
∴直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
19．解：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，
∴AB∥平面PDC.
(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，
∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，
在Rt△BEC中，∠EBC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝，
在Rt△ACE中，AC＝＝，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
(3)∵M是PC的中点，
∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．
∴VMACD＝S△ACD×＝××＝.
20.解：（1）线段的中点，，
故线段中垂线的方程为，即.
由圆经过两点，故圆心在线段的中垂线上.
又直线平分圆的面积，所以直线经过圆心，
由解得即圆心的坐标为，
而圆的半径，
故圆的方程为.
（2）由直线的斜率为，故可设其方程为，
由消去得.
由已知直线与圆有两个不同的公共点，
故，即，解得或.
21．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
又底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，因为PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面PAC，从而平面PBD⊥平面PAC.
(2)如图，过O作OH⊥PM交PM于H，连接HD.由DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM，所以∠OHD为二面角OPMD的平面角．
又OD＝a，OM＝，AM＝，且＝，
从而OH＝·＝，
tan∠OHD＝＝＝2，
所以9a2＝16b2，即a∶b＝4∶3.
故的值为.
22.(1)解 ∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，
点(－1，1)在边AD所在的直线上，∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.由得A(0，－2).
∴|AP|＝＝2，∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.
(2)证明 直线l的方程可化为k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，
l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3，2)的直线系，
即l恒过定点Q(3，2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q在圆P内，
所以l与圆P恒相交.设l与圆P的交点为M，N，
则|MN|＝2(d为P到l的距离)，
设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin θ＝sin θ，
当θ＝90°时，d最大，|MN|最短.
此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，
故l的方程为y－2＝－(x－3)，x＋2y－7＝0.