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- 2021-04-17 发布
高一数学试卷
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，只有一个选项正确，请把答案写在
答题卷上）
1.已知 ，则角 的终边所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
化 ，可知角 的终边所在的象限.
【详解】 ,
将 逆时针旋转 即可得到 ，
角 的终边在第三象限.
故选：C
【点睛】本题主要考查了象限角的概念，属于容易题.
2.将－300o 化为弧度为（ ）
A. － B. － C. － D. －
【答案】B
【解析】
【分析】
根据角度与弧度转化公式 ，即可求解.
【详解】 ,
,
故选：B
【点睛】本题主要考查了角度制与弧度的互化公式，属于容易题.
3. 的值是（ ）
A. B. C. D.
9
8
α π= α
9
8 8
α π π π= = + α
9
8 8
α π π π= = +
∴ π
8
π α
∴ α
4
3
π 5
3
π 7
6
π 11
6
π
180π = °
180π = °
5300 300 180 3
π π∴− ° = − × = −
7πsin 3
3
2
− 1
2
1
2
− 3
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，利用诱导公式化简求值即可.
【详解】 ,
,
故选：D
【点睛】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值，属于中档题.
4.若函数 （ ）的最小正周期为 ,则 （ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的周期公式可解得.
【详解】根据周期公式 以及 得 ,
故选 .
【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式,属于基础题.
5.点 是角 终边上一点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义，即可求解.
【详解】 点 是角 终边上一点,
,
7πsin sin(2 )3 3
ππ= +
7πsin sin(2 )3 3
ππ= +
∴ 7π 3sin sin3 3 2
π= =
( ) sin 6f x x
πω = + 0>ω
5
π ω =
2
| |T
π
ω= 0>ω
2 10
5
πω π= =
B
( )1,2P − α sinα
2 5
5
2 5
5
− 2
5
− 1
5
( )1,2P − α
2 2| | ( 1) 2 5r OP∴ = = − + =
,
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，属于容易题.
6.已知 ，则 的值为 ( )．
A. B. C. － D.
【答案】B
【解析】
【分析】
：用已知角 ，去表示未知角为 ，再利用诱导公式化简即可．
【 详 解 】 ： 因 为 ， 所 以
，故选 B
【点睛】：用已知角去表示未知角是求三角值常见的一种处理技巧，利用角之间的和差、以
及特殊角的关系进行配凑从而简化计算，三角诱导公式的口诀为：奇变偶不变，符号看象
限．
7.用“五点法”作 的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据五点作图法，确定首先描出的五个点的横坐标.
【详解】由五点作图法可知，首先描出 五个点的横坐标为： ， ， ， ， .的
2 2 5sin 55
α∴ = =
π 3sin( )4 2
α+ = 3πsin( )4
α−
3
2
− 3
2
1
2
1
2
π
4
α+ 3π ππ4 4
α α − = − +
3π ππ4 4
α α − = − +
3π π π 3sin π sin4 4 4 2sinα α α − = − + = + =
2siny x=
30, , , ,22 2
π π π π 30, , , ,4 2 4
π π π π
0, ,2 ,3 ,4π π π π 20, , , ,6 3 2 3
π π π π
0x =
2
π π 3
2
π 2π
故选 A.
【点睛】本小题主要考查五点作图法横坐标的选取，属于基础题.
8.若扇形的面积为 、半径为 1，则扇形的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设扇形的圆心角为 α，则∵扇形的面积为 ，半径为 1，
∴
故选 B
9.要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位
B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位
D. 向右平移 个单位
【答案】B
【解析】
因为函数 ，要得到函数 的图象，只需要
将函数 的图象向右平移 个单位．
本题选择 B 选项
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数
变为原来的 ω 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
.
3
8
π
3
2
π 3
4
π 3
8
π 3
16
π
3π
8
23 1 3
8 2 4l
π πα α= ∴ =
4y sin x= −（
3
π
） 4y sin x=
12
π
12
π
3
π
3
π
sin 4 sin[4( )]3 12y x x
π π = − = − 4 3y sin x
π = −
4y sin x=
12
π
10.使 取最小值的 的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角函数 的取值范围，求得当 取何值时，函数取得最小值.
【详解】由于 ，所以当 时，函数 取得最小值为 .
故使 取最小值的 的集合是 .
故选 A.
【点睛】本小题主要考查含有余弦型函数何时取得最小值，考查三角函数的性质，属于基础
题.
11.已知 则以下不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数 图象的单调性与对称性，以及 1,2,3 与对称轴 的距离，即可判断函
数值的大小.
【详解】 ，
在 上是增函数，在 上是减函数；
且 的图象关于 对称，
3 cos 2
xy = − x
{ | 4 , }x x k kπ= ∈Z { | 2 , }x x k kπ= ∈Z
{ | , }x x k kπ= ∈Z 3| ,2x x k kπ = ∈ Z
cos 2
x x
1 cos 12
x− ≤ ≤ 2 π, 4 π2
x k x k= = 3 cos 2
xy = − 2
3 cos 2
xy = − x { | 4 , }x x k kπ= ∈Z
( ) sinf x x=
( ) ( ) ( )1 3 2f f f< < (3) (2) (1)f f f< <
(1) (2) (3)f f f< < (3) (1) (2)f f f< <
( ) sinf x x=
2x
π=
0 1 2 32
π π< < < < <
( ) sinf x x= 0, 2
π
,2
π π
( )f x
2x
π=
又 ，
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，解题时单调性与对称性的应用是关键，属
于中档题.
12.同时具有性质“①最小正周期是 ；②图象关于直线 对称；③在 上是增
函数”的一个函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：因为函数的周期为 ，因此 =2，排除 A，然后根据图像关于 x= 对称，
排除选项 D， 单调递减，舍
去 B,选 C
二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案写在答题卷上）
13.终边在 轴上的角的集合是_____________________．
【答案】
【解析】
【详解】由于终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合为
而终边在 y 轴的非正半轴上的角的集合为 ，
终边在 轴上的角的集合是 ，
3 1 22 2 2
π π π− > − > −
(3) (1) (2)f f f∴ < <
π
3x
π= ,6 3
π π −
sin 2 6
xy
π = + cos 2 3y x
π = +
sin 2 6y x
π = − cos 2 6y x
π = −
π ω
3
π
2cos( ) 03 6
π π− = [ , ],2 [0, ] cos(2 )6 3 3 3x x y x
π π π ππ∈ − + ∈ ∴ = +
y
{ | , }2k k Z
πα α π= + ∈
{ | 2 , }2n k Z
πα α π= + ∈
( ){ | 2 1 , }2n k Z
πα α π= + + ∈
y { | , }2k k Z
πα α π= + ∈
所以，故答案为 .
14. _______
【答案】
【解析】
【分析】
根据终边相同的角知 ，利用诱导公式即可求解.
【详解】 ，
，
.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了终边相同的角，诱导公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.
15.将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把图像上
的所有点向左平移 个单位，最后所得图像的函数解析式为________
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的图像的变换解答得解.
【详解】将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到
，再把图像上的所有点向左平移 个单位，最后所得图像的函数解析式为
.
故答案为
【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基
础题.
{ | , }2k k Z
πα α π= + ∈
sin 420 cos750⋅ =
3
4
420 360 60 ,750 720 30°° = °+ ° ° = + °
420 360 60 ,750 720 30°° = °+ ° ° = + °
∴ 3 3sin 60 ,cos750 cos302 2sin 420 = ° = ° = ° =
∴ 3 3 3sin 420 cos750 2 2 4
⋅ = × =
3
4
siny x=
3
π
1sin( )2 6y x
π= +
siny x=
1sin 2y x=
3
π
1 1sin + =sin( )2 3 2 6y x x
π π= +（ ）
1sin( )2 6y x
π= +
16.函数 的部分图像如图所示，则 ____.
【答案】
【解析】
【分析】
观察可知，A=2， ，可得周期 T ，由 计算出 的值，
再由 和 可得 的值，进而求出 ．
【详解】由题得 A=2， ，得 ，则 ，由 可得
， ，因为 ，故 ，那么 ．
【点睛】本题考查正弦函数的图像性质，属于基础题．
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卷上）
17.已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（2）该弧所在的弓形的面积
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据弧长公式 计算即可（2）弓形的面积等于所在扇形的面积与三角形面积的差，
计算即可求解.
【详解】因为圆心角 ，圆的半径是 10cm，
( ) sin( )( 0, 0, )2f x A x A
πω ϕ ω ϕ= + > > < ( )f x =
2sin 2 3x
π +
3 5
4 6 12T
π π= − 2
T
πω = ω
26 2k
π πϕ π+ = +
2
πϕ < ϕ ( )f x
3 5 3
4 6 12 4T
π π π= − = T π= 2 2T
πω = = ( ) 212f
π =
26 2k
π πϕ π+ = + 2 3k
πϕ π= +
2
πϕ <
3
πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x
π= +
120°
20
3
π 100 25 33
π −
l rα=
2
3
πα =
所以 ，
即扇形的弧长为 .
（2）该弧所在的弓形的面积
即弓形的面积为
【点睛】本题主要考查了弧长公式，扇形、三角形面积公式，属于容易题.
18.（1）求值： ；
（2）化简： .
【答案】（1） ；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）由题意，根据三角函数诱导公式，将式子中的大角度、负角度都化为锐角，
再根据同角的三角函数商关系，进行化简，从而问题可得解；（2）根据题意，可同（1）的
方法进行整理化简，从而问题可得解.
试题解析：(1)原式 .
（2）原式
19.求函数 的定义域、周期、单调区间.
【答案】 ， ，
【解析】
【分析】
由已知得 ，从而可根据正切函数的图象和性质求出其定义域、周
期和单调区间.
2 2010 ( )3 3l r cm
π πα= = × =
20
3 cm
π
-S S S= 扇形 三角形
2 2 21 1 1 20 1 100= sin 10 10 sin120 25 3( )2 2 2 3 2 3lr r cm
π πα °− = × × − × × = −
100 25 33
π − 2cm
0 0 0
0 0
tan150 cos210 sin( 60 )
sin( 30 )cos120
−
−
sin( )cos( ) tan(2 )
cos(2 )sin( ) tan( )
α π α π α
π α π α α
− + +
+ + −
- 3
=
( ) ( )
( )
0 0 0
0
0 0
tan30 cos30 sin 60
tan60 3
sin30 cos60
− − −
= − = −
− −
= ( )
( )( )
sin cos tan sin cos tan 1cos sin tan cos sin tan
α α α α α α
α α α α α α
− − = =− −
3 2 )4( ) 2tan( xf x π −=
5 ,8 2
kx x k Z
π π ≠ + ∈
2
π 5 ,8 2 8 2
k kx x k Z
π π π π + < < + ∈
32 )4( ) 2tan( xf x π−= −
【详解】 ,
令 ，解得 ， ，
所以定义域为 .
周期 .
由 ，解得 ，
所以函数的单调递减区间为： .
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质，属于容易题.
20.已知 .
（1）求 值；
（2）求 的值.
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】
（1）分子分母同除以 ，即可求出 ，从而求出 （2）分母看作 1,
，分子分母同除以 可得含 的式子，代入求值即可.
【详解】（1） ，
，
.
（2） ，
又 ，
.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系，弦化切思想，属于中档题.
的
3 32 ) 2 )4 4( ) 2tan( 2tan(x xf x π π− −= = −
32 ,4 2x k k Z
π ππ− ≠ + ∈ 5
2 8
kx
π π≠ + k Z∈
5 ,8 2
kx x k Z
π π ≠ + ∈
2
π πT ω
= =
32 ,2 4 2k x k k Z
π π ππ π− < − < + ∈ 5 ,2 8 2 8
k kx k Z
π π π π+ < < + ∈
5,8 2 8 2
k k k Z
π π π π + + ∈
sin 4cos 22sin cos
α α
α α
− =+
( )tan α−
23sin cos cosα α α+
1−
cosα tanα ( )tan α−
2 21 sin cosα α= + 2cos α tanα
sin 4cos tan 4 22sin cos 2tan 1
α α α
α α α
− −= =+ +
tan 2α∴ = −
tan( ) tan 2α α∴ − = − =
2
2
2 2 2
3sin cos cos 3tan 13sin cos cos sin cos tan 1
α α α αα α α α α α
+ ++ = =+ +
tan 2α =-
∴ 23sin cos cos 1α α α+ = −
21.已知函数 （ ）的最小正周期为 ，且其图象关于直线
对称.
（1）求 和 的值；
（2）若 ， 为锐角，求 的值.
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由函数图象上相邻两个最高点的距离为 ，利用正弦函数的图象和性质即可得解最小正
周期，利用周期公式求 ，根据对称轴可求 （2）由（1）可得 的解析式，根据同角三
角函数的关系及诱导公式即可求值.
【详解】（1） ，
，
，
，
又 ，
，
（2） ，
锐角，
，
.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属
于中档题.
是
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0,0ω ϕ π> < < π
6x
π=
ω ϕ
3( )2 12 5f
α π− = α cos( 3 )α π−
2ω =
6
π=ϕ 4
5
−
π
ω ϕ ( )f x
2 T
π πω = =
2ω∴ =
2 6 2 k
π πϕ π× + = +
,6 k k Z
πϕ π∴ = + ∈
0 ϕ π< <
6
πϕ∴ =
( ) sin 2 6f x x
π = +
3sin2 12 5f
α π α ∴ − = =
α
4cos 5
α∴ =
( ) 4cos 3 cos 5
α π α∴ − = − = −
22.已知函数
（1）求函数 的最小周期、振幅、初相、频率并画出函数 在区间[0，π]上的图
象．
（2）说明此函数图象可由 上 图象经怎样的变换得到.
【答案】（1） ，图象见详解（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正弦型函数的图象与性质即可写出最小周期、振幅、初相、频率，利用描点法画出
图象（2）根据图象的变换可先平移后伸缩即可得到函数图象.
【详解】（1）因为 ，
所以振幅为 ,初相 ，周期 ,频率 ，
列表：
的
2 6( ) 2sin( ) ,f x x x Rπ= + ∈
( )f x ( )y f x=
sin [0,2 ]y x π= 在
1, 2, ,6T A f
ππ ϕ π= = = =
2 6( ) 2sin( ) ,f x x x Rπ= + ∈
2A =
6
π=ϕ 2
2T
π π= = 1 1f T π= =
2 0 0 1
作图：
（2）把 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍，
横坐标变为原来的 倍，即得到函数 的图象.
【点睛】本题主要考查了 中参数的物理意义，五点法作函数
的图象，函数 的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题.
x 0 6
π 5
12
π 2
3
π 11
12
π π
2 6x
π+
6
π
2
π π 3
2
π
2π 13
6
π
( )f x 1 2−
siny x=
6
π
1
2 2 6( ) 2sin( )f x x π= +
sin( )y A xω ϕ= + sin( )y A xω ϕ= +
sin( )y A xω ϕ= +