2017-2018学年吉林省东丰县第三中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版） 16页

‎2017-2018学年吉林省东丰县第三中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已若＋3－2i＝4＋i，则等于(　　)‎ A． 1＋i B． 1＋3i C． －1－i D． －1－3i ‎【答案】B ‎【解析】∵＋3－2i＝4＋i，‎ ‎∴。选B。‎ ‎2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）‎ A． 中至少有两个偶数 B． 中至少有两个偶数或都是奇数 C． 都是奇数 D． 都是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：原命题的结论为：“恰有一个偶数”。则反证法需假设结论的反面；“恰有一个”的反面有两种情况，即：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数。‎ ‎【考点】反证法的假设环节.‎ ‎3．如图所示，输出的n为（　　）‎ A． 10 B． 11 C． 12 D． 13‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次运行程序框图的所给出的程序，可得输出结果．‎ ‎【详解】‎ 运行程序框图中的程序，可得：‎ 第一次：，不满足条件，继续运行；‎ 第二次：，不满足条件，继续运行；‎ 第三次：，不满足条件，继续运行；‎ 第四次：，不满足条件，继续运行；‎ 第十二次：，不满足条件，继续运行；‎ 第十三次：，满足条件，停止运行，输出13．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 解答程序框图的输出结果的问题时，要分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，可逐步得到输出结果．‎ ‎4．4830与3289的最大公约数为（ ）‎ A． 11 B． 35 C． 23 D． 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用辗转相除法可得：‎ ‎4830=3289×1+1541，‎ ‎3289=1541×2+207，‎ ‎1541=207×7+92，‎ ‎207=92×2+23，‎ ‎92=23×4，‎ 据此可得：4830与3289的最大公约数为23.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．给出以下数对序列：‎ ‎(1,1)；‎ ‎(1,2)(2,1)；‎ ‎(1,3)(2,2)(3,1)；‎ ‎(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；‎ ‎…‎ 记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)‎ A． (m，n－m＋1) B． (m－1，n－m) C． (m－1，n－m＋1) D． (m，n－m)‎ ‎【答案】A ‎【解析】第n行的第1个数对为（1，n），所以第m个数对为(m,n-m+1),选A 点睛：由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用处理.‎ ‎6．设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程有实根的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，‎ 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，‎ 方程x2+mx+n=0有实根要满足m2−4n⩾0，‎ 当m=2，n=1‎ m=3，n=1，2‎ m=4，n=1，2，3，4‎ m=5，n=1，2，3，4，5，6，‎ m=6，n=1，2，3，4，5，6‎ 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ‎∴方程x2+mx+n=0有实根的概率是；‎ 本题选择A选项.‎ ‎7．将某省参加数学竞赛预赛的500名同学编号为：001,002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码013为一个样本，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，系统抽样的抽取间隔为，‎ 因为随机抽的的号码013为一个样本，故在第一组中被抽取的样本编号为3，‎ 所以被抽取的样本的标号成首项为3，公差为10的等差数列。‎ 可求得在在001到200之间抽取20人，在201到355之间抽取16人。‎ 选B。‎ 点睛：系统抽样又称等距抽样，若总体容量为N，样本容量为n，则要将总体均分成n组，每组个(有零头时要先去掉)．若在第一组抽到编号为k的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为。‎ ‎8．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法 分析求得相关系数r与残差平方和m如下表：‎ 则哪位同学的实验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性 （ ）‎ A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 ‎【答案】D ‎【解析】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，‎ 在四个选项中只有丁的相关系数最大，‎ 残差平方和越小，相关性越强，‎ 只有丁的残差平方和最小，‎ 综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，‎ 故选D．‎ ‎9．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 (　　)．‎ A． ① B． ②④ C． ③ D． ①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义。故选C。‎ ‎10．设复数 ，若，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析： ，制图如下，可得所求概率,故选D.‎ ‎【考点】1、复数及其性质；2、圆及其性质；3、几何概型.‎ ‎11．如图所示是一个长方形，其内部阴影部分为两个半圆，在此圆形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选 ‎12．已知，是的导函数，则在区间任取一个数使得的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由，得，因此所求概率为，选D.‎ ‎【考点】几何概型概率 ‎【方法点睛】‎ ‎（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．‎ 二、填空题 ‎13．已知复数z满足（1+i）z=2，则复数z的虚部为_____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先求得复数后再求出复数的虚部即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴复数z的虚部为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算和复数模的概念，正确求出复数z是解题的关键，另外还要注意复数的虚部是，而不是，这是解题中常出现的错误．‎ ‎14．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x4-x3+3x2+7,在求x=2时对应的值时,v3的值为___.‎ ‎【答案】18.‎ ‎【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7，‎ ‎∴v0=2,v1=2×2-1=3,v2=3×2+3=9,v3=9×2=18.‎ 故答案为：18.‎ ‎15．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,‎ ‎9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：‎ ‎7527‎ ‎0293‎ ‎7140‎ ‎9857‎ ‎0347‎ ‎4373‎ ‎8636‎ ‎6947‎ ‎1417‎ ‎4698‎ ‎0371‎ ‎6233‎ ‎2616‎ ‎8045‎ ‎6011‎ ‎3661‎ ‎9597‎ ‎7424‎ ‎7610‎ ‎4281‎ 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．‎ ‎【答案】0.75‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机模拟的方法，先找到20组数据中至少含有2,3,4,5,6,7,8,9中的3个数字的组数，然后根据古典概型求出概率．‎ ‎【详解】‎ 由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次击中3次的有：‎ ‎7527,0293,9857,0347,4373,8636,6947,4698,6233,2616,8045,3661,9597,7424,4281，共15组随机数，‎ 所以所求概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机模拟的应用，考查理解能力和运用能力，解题时读懂题意是解题的关键，然后在此基础上确定基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，再根据古典概型的概率公式求解．‎ ‎16．平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆的半径为，外接圆的半为，则.推广到空间，可以得到类似结论：若正四面体（所有棱长都相等的四面体叫正四面体）的内切球的半径为，外接球的半径为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎ 三、解答题 ‎17．已知复数.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数，的值.‎ ‎【答案】（1）；（2），．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．‎ 试题解析：（1）∵，∴；‎ ‎（2）∵，∴．‎ ‎【考点】复数的计算．‎ ‎18．为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重(单位：kg)，获得的所有数据按照区间， ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间上的女生数与体重在区间上的女生数之比为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，求体重在区间上的女生至少有一人被抽中的概率.‎ ‎【答案】(1) ， .(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合频率分布直方图得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得， .‎ ‎(2)列出所有可能的事件，结合古典概型公式可得体重在区间上的女生至少有一人被抽中的概率是.‎ 试题解析：‎ ‎(1)样本中体重在区间上的女生有 (人)，‎ 样本中体重在区间上的女生有 (人)，‎ 依题意，有，即，①‎ 根据频率分布直方图可知，②‎ 解①②得， .‎ ‎(2)样本中体重在区间上的女生有人，分别记为，‎ 体重在区间上的女生有人，分别记为，‎ 从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：‎ ‎， ， ， ， ， ,， ，‎ ‎， ， ， ， ， .‎ 其中体重在上的女生至少有一人被抽中共有9种情况：‎ ‎， ， ， ， ， ， ， .‎ 记“从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，体重在区间上的女生至少有一人被抽中”为事件，则.‎ ‎19．某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分.现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：‎ 男 女 ‎15‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎17‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎18‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎19‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）计算上线考生中抽取的男生成绩的方差；（结果精确到小数点后一位）‎ ‎（Ⅱ）从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据茎叶图中提供的数据，可以求出统计量，如众数、中位数、均值、方差等，要记住公式，计算要准确.求概率问题，列出基本事件的种数时一定要根据题意去列，有的题用列表法，有的题只能列举，列举时要按规律去列，以保证不重不漏.‎ 试题解析：（Ⅰ）依题意：样本中男生共6人，成绩分别为164、165、172、178、185、186.‎ 他们的总分为1050，平均分为175.‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）样本中180分以上的考生有男生2人，记为、，女生4人，记为、、、，‎ 从中任选2人，有、、、、、、、、、、、、、、共15种，‎ 符合条件的有： 、、、、、、、8种，‎ 故所求概率.‎ ‎【点睛】本题为统计问题，是高考必考的应用问题，统计问题考查主要有线性回归、茎叶图、频率分布直方图、独立性检验等，而和函数应用题巧妙结合是考查为近年高考最时髦的命题方法法，茎叶图问题主要考查统计量的计算，如众数、中位数、均值、方差等，与概率结合考查概率的求法.‎ ‎20．2016年入冬以来，各地雾霾天气频发，频频爆表（是指直径小于或等于2.5微米的颗粒物），各地对机动车更是出台了各类限行措施，为分析研究车流量与的浓度是否相关，某市现采集周一到周五某一时间段车流量与的数据如下表：‎ 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量（万辆）‎ ‎50‎ ‎51‎ ‎54‎ ‎57‎ ‎58‎ 的浓度（微克/立方米）‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎74‎ ‎78‎ ‎79‎ ‎（1）请根据上述数据，在下面给出的坐标系中画出散点图；‎ ‎（2）试判断与是否具有线性关系，若有请求出关于的线性回归方程，若没有，请说明理由；‎ ‎（3）若周六同一时间段的车流量为60万辆，试根据（2）得出的结论，预报该时间段的的浓度（保留整数）.‎ 参考公式： ，.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） ；（3）81.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中数据画出散点图即可．（2）根据散点图可得与具有线性关系．然后根据条件中的数据及相关公式求得和后可得线性回归方程．（3）在（2）中的回归方程中，令求得的值即为所求的估计值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）画出散点图如图所示，‎ ‎（2）根据散点图可得与具有正线性相关关系.‎ 由题意得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故关于的线性回归方程.‎ ‎（3）当时，．‎ ‎∴当车流量为60万辆时，可预报该时间段的的浓度为81.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）利用散点图可判断所给的两组变量间是否具有线性相关关系，体现了数形结合的应用．‎ ‎（2）在线性回归方程的求解中，由于涉及到大量的复杂运算，因此在计算时要特别注意，合理运用所给的参考数据，同时要注意计算的准确性．‎ ‎21．在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.在选取的40名学生中.‎ ‎（1）求成绩在区间内的学生人数及成绩在区间内平均成绩；‎ ‎（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生，求至少有1名学生成绩在区间 内的概率.‎ ‎【答案】（1）71.875；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图的意义计算即可.‎ ‎（2）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选3名学生的事件个数，查出至少有1名学生成绩在[90，100]的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为 ‎，‎ 所以40名学生中成绩在区间的学生人数为，‎ 易知成绩在区间内的人数分别为18，8，4，2，‎ 所以成绩在区间内的平均成绩为；‎ ‎（2）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，至少有1名学生成绩在区间内”，‎ 由已知（1）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，‎ 记这四个人分别为．‎ 成绩在区间内的学生有2人，‎ 记这两个人分别为，则选取学生的所有可能结果为：‎ ‎，‎ 基本事件数为20．‎ 事件“至少有1名学生成绩在区间之间”的可能结果为 ‎，‎ 基本事件为数16，‎ 所以．‎ ‎22．心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）‎ ‎（1）能否据此判断有97．5％的把握认为视觉和空间能力与性别有关?‎ ‎（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．‎ 附表：‎ ‎【答案】（1）有97.5%的把握认为二者有关（2）1：8‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据表中所给的数据，计算观测值K2，观测值同临界值进行比较，得出概率结论；‎ ‎（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，绘制基本事件满足的区域，由几何概型公式即可求得乙比甲先解答完的概率P（A）．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由表中数据得K2的观测值 ‎，‎ ‎∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；‎ ‎(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，‎ 则基本事件满足的区域为，‎ 设事件A为“乙比甲先做完此道题”，乙比甲先解答完的事件为A，则满足的区域为x＞y，‎ ‎∴由几何概型P（A）==，‎ ‎∴乙比甲先解答完的概率P=．‎ 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．‎