2017-2018学年安徽省六安市舒城中学高二5月（第四次）统考数学（文）试题 Word版 12页

舒城中学 2017—2018 学年度第二学期第四次统考 高二文数 一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1.设复数 z 满足 1 z iz  (i 为虚数单位)，则 z  （ ） A． 1 1 2 2 i B． 1 1 2 2 i  C． 1 1 2 2 i  D． 1 1 2 2 i 2．在某次测量中得到的甲样本数据如下： 30,22,32,26,23,22 .若乙样本数据恰好是甲样本数 据都减3 后所得数据，则甲，乙两个样本的下列数字特征对应相同的是 （ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．标准差 3．下列程序框图最终输出的结果 S 为（ ） A． 9 10 B． 10 11 C． 9 D．10 4.若 2y x 是曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的一条渐近线，则 C 的离心率为 （ ） A、3 B、 3 C、 6 2 D、 3 2 5.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽 取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为 （ ） （A）90 （B）100 （C）180 （D）300 6.在区间[ , ]2 2   上随机取一个数 x ， cos x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为（ ） A. 3 1 B.  2 C. 2 1 D. 3 2 7．已知函数       2sin 0 0xf x e x f x f  ，则 在点 ， 处的切线方程为 （ ） A． 1 0x y   B． 1 0x y   C ． 3 1 0x y   D．3 1 0x y   8．函数 2 2 3( ) 2x x xf x   的大致图象为 （ ） 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ） A． 36 B． 8 C．  2 9 D．  10.斜率为 k 的直线 l 过抛物线  2 2 0C y px p ： 的焦点 F 且与抛物线 C 相交于 BA, 两 点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 E ，若 8, =AB EF 则 （ ） A． 2 B． 4 C.8 D.16 11.已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 1F ， y 轴上的点 P 在椭圆以外，且线段 1PF 与椭圆 E 交于点 M ，若 1 3 3OM MF OP  ，则椭圆 E 的离心率为 （ ） A． 1 2 B． 3 2 C． 3 1 2  D． 3 1 12.设实数 a 使得不等式 2|23||2| aaxax  对任意实数 x 恒成立，则满足条件的 a 所组 成的集合是 （ ） A. ]3 1,3 1[ B. ]2 1,2 1[ C. ]3 1,4 1[ D. ]3,3[ 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.观察下列不等式： 2 3 2 11 2  ， 3 5 3 1 2 11 22  ， 4 7 4 1 3 1 2 11 222  ，……照此规律， 第五个不等式为____________________． 14．在极坐标系中，点 π2 3      ‚ 到直线  cos 3sin 6    的距离为 ． 15.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本， 其频率分布直方 图如图所示，其中支出在 40,50 元的同学有30 人，则 n 的值为 ． 16．已知函数 2( ) lnf x x x x  与 21( ) 32g x kx x   ，若存在实数 t ，使得 ( ) ( )f t g t ，则 k 的取值范围是 ． 三. 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17.（本题满分 10 分）已知函数 ( ) 2 | | | 3|f x x x   . （1）解关于 x 的不等式 ( ) 4f x  ； （2）若对于任意的 xR ，不等式 2( ) 2f x t t  恒成立，求实数t 的取值范围. 18. （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy中，曲线        sin22 cos2:1 y xC （ 为参数），曲 线 :2C )(3siny 2cosx 为参数       .以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且两 个坐标系取相同的单位长度. （1）求曲线 1C 的极坐标方程，曲线 2C 的普通方程； （2）已知 BA, 两点的直角坐标分别为 )3,0( 和 )5,2( ，直线 AB 与曲线 1C 交于 SR, 两点， 求 |||||| ASAR  的值. 19 ．（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 中 ， 1AA 平 面 ABC , 15, = 6, ,AB AC BB BC D E   分别是 1AA 和 1B C 的中点. （1）求证： / /DE 平面 ABC ； （2）求三棱柱 E BCD 的体积. 20. （本题满分 12 分）在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增 加而上升.已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量 x 与单价 y 之间的关系，统计数 据如下表所示： 日供应量 x （kg） 38 48 58 68 78 88 单价 y （元/kg） 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 （1）根据上表中的数据得出日供应量 x 与单价 y 之间的回归方程为 baxy  ，求 ba, 的值； （2）该地区有 6 个饭店，其中 4 个饭店每日对蔬菜的需求量在 kg60 以下， 2 个饭店对蔬菜 的需求量在 kg60 以上（含 kg60 ），则从这 6 个饭店中任取 2 个进行调查，求恰有1个饭 店对蔬菜的需求量在 kg60 以上（含 kg60 ）的概率. 附：一组数据 1 1( , )x y , 2 2( , )x y , ( , )n nx y ，其回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜率和截距的最小二乘 估计分别为 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆˆa y bx  . )ln(ln 6 1 i i i yx     6 1 )(ln i ix )ln( 6 1 i i y  2 6 1 )(ln i ix 75.3 24.6 18.3 101.4 21.（本题满分 12 分）如图，椭圆 E 的左右顶点分别为 BA, ，左右焦点分别为 21,FF ， 4|| AB ， 32|| 21 FF ，直线 )0(:  kmkxyl 交椭圆于 DC, 两点，与线段 21FF 及椭圆短轴分别交于 NM, 两点（ NM, 不重合），且 |||| DNCM  ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）若 CD 的垂直平分线过点 )0,1( ，求直线l 的方程． 22.（本题满分 12 分）已知 )0(ln)(,2 1)( 2  axaxgxxf . （1）求函数 )()()( xgxfxF  的极值； （2）求证：当 0x 时， 01 4 3ln 2  xexx . 舒城中学 2017-2018 学年度第二学期统考 高二文数 时间：120 分钟 分值：150 分 一. 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合要求的,请你将符合要求的项的序号填在括号内) 1.设复数 z 满足 1 z iz  (i 为虚数单位)，则 z  （ B ） A． 1 1 2 2 i B． 1 1 2 2 i  C． 1 1 2 2 i  D． 1 1 2 2 i 2．在某次测量中得到的甲样本数据如下： 30,22,32,26,23,22 .若乙样本数据恰好是甲样 本数据都减 3 后所得数据，则甲，乙两个样本的下列数字特征对应相同的是（ D ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．标准差 3．下列程序框图最终输出的结果 S 为（ A ） A． 9 10 B． 10 11 C． 9 D．10 4.若 2y x 是曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的一条渐近线，则 C 的离心率为（ B ） A、3 B、 3 C、 6 2 D、 3 2 5.某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法 调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人， 则该样本的老年教师人数为（ C ） （A）90 （B）100 （C）180 （D）300 6.在区间[ , ]2 2   上随机取一个数 x ， cos x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为（ A ） A. 3 1 B.  2 C. 2 1 D. 3 2 7．已知函数       2sin 0 0xf x e x f x f  ，则 在点 ， 处的切线方程为（ C ） A． 1 0x y   B． 1 0x y   C．3 1 0x y   D．3 1 0x y   8．函数 2 2 3( ) 2x x xf x   的大致图象为（ C ） 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ B ） A． 36 B． 8 C．  2 9 D．  10.斜率为 k 的直线l 过抛物线  2 2 0C y px p ： 的焦点 F 且与抛物线C 相交于 BA, 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 E ，若 8, =AB EF 则 （ B ） A． 2 B． 4 C.8 D.16 11.已知椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 1F ， y 轴上的点 P 在椭圆以外，且线段 1PF 与椭圆 E 交于点 M ，若 1 3 3OM MF OP  ，则椭圆 E 的离心率为（ D ） A． 1 2 B． 3 2 C． 3 1 2  D． 3 1 12.设实数 a 使得不等式 2|23||2| aaxax  对任意实数 x 恒成立，则满足条件的 a 所组 成的集合是（ A ） A. ]3 1,3 1[ B. ]2 1,2 1[ C. ]3 1,4 1[ D. ]3,3[ 二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.观察下列不等式： 2 3 2 11 2  ， 3 5 3 1 2 11 22  ， 4 7 4 1 3 1 2 11 222  ，…… 照此规律，第五个不等式为_______1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 ＋ 1 52 ＋ 1 62<11 6 _______________________． 14．在极坐标系中，点 π2 3      ‚ 到直线  cos 3sin 6    的距离为 1 ． 15.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本，其频率分 布直方图如图所示，其中支出在 40,50 元的同学有30 人，则 n 的值为 100 ． 16．已知函数 2( ) lnf x x x x  与 21( ) 32g x kx x   ，若存在实数 t ，使得 ( ) ( )f t g t ， 则 k 的取值范围是 [2, ) . 三. 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程及演算步骤） 17.（本题满分 10 分）已知函数 ( ) 2 | | | 3|f x x x   . （1）解关于 x 的不等式 ( ) 4f x  ； （2）若对于任意的 xR ，不等式 2( ) 2f x t t  恒成立，求实数t 的取值范围. 18. （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy中，曲线        sin22 cos2:1 y xC （ 为参数），曲 线 :2C )(3siny 2cosx 为参数       .以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且两 个坐标系取相同的单位长度. （1）求曲线 1C 的极坐标方程，曲线 2C 的普通方程； 194,sin4 22  yx （2）已知 BA, 两点的直角坐标分别为 )3,0( 和 )5,2( ，直线 AB 与曲线 1C 交于 SR, 两点， 求 |||||| ASAR  的值. 2 19 ．（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 所 示 ， 在 三 棱 柱 1 1 1ABC A B C 中 ， 1AA 平 面 ABC , 15, = 6, ,AB AC BB BC D E   分别是 1AA 和 1B C 的中点. （1）求证： / /DE 平面 ABC ； （2）求三棱柱 E BCD 的体积. 19 题答案：12 20. （本题满分 12 分）在冬季，由于受到低温和霜冻的影响，蔬菜的价格会随着需求量的增 加而上升.已知某供应商向饭店定期供应某种蔬菜，日供应量 x 与单价 y 之间的关系，统计数 据如下表所示： 日供应量 x （kg） 38 48 58 68 78 88 单价 y （元/kg） 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 （1）根据上表中的数据得出日供应量 x 与单价 y 之间的回归方程为 baxy  ，求 ba, 的值； （2）该地区有 6 个饭店，其中 4 个饭店每日对蔬菜的需求量在 kg60 以下， 2 个饭店对蔬菜 的需求量在 kg60 以上（含 kg60 ），则从这 6 个饭店中任取 2 个进行调查，求恰有1个饭 店对蔬菜的需求量在 kg60 以上（含 kg60 ）的概率. 附：一组数据 1 1( , )x y , 2 2( , )x y , ( , )n nx y ，其回归直线 ˆˆ ˆy bx a  的斜率和截距的最小二乘 估计分别为 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆˆa y bx  . )ln(ln 6 1 i i i yx     6 1 )(ln i ix )ln( 6 1 i i y  2 6 1 )(ln i ix 75.3 24.6 18.3 101.4 20 题参考答案： 15 8,,5.0 eab  21.（本题满分 12 分）如图，椭圆 E 的左右顶点分别为 BA, ，左右焦点分别为 21,FF ， 4|| AB ， 32|| 21 FF ，直线 )0(:  kmkxyl 交椭圆于 DC, 两点，与线段 21FF 及椭圆短轴分别交于 NM, 两点（ NM, 不重合），且 |||| DNCM  ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）若 CD 的垂直平分线过点 )0,1( ，求直线l 的方程． 21 题参考答案：（1): 14 2 2  yx （Ⅱ）设 C（x1，y1），D（x2，y2）易知 …（5 分） 由 （k＞0）消去 y 整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0 由△＞0⇒4k2+m2+1＞0， …（6 分） 且|CM|=|DN|即 可知 ，即 ，解得 …．（8 分） ，设 CD 的中点为 H（x0，y0）， 则 …．（10 分） 直线 l 的垂直平分线方程为 过点（-1，0），解得 此时直线 l 的方程为 …．（12 分） 22. （本题满分 12 分）已知 )0(ln)(,2 1)( 2  axaxgxxf . （1）求函数 )()()( xgxfxF  的极值； （2）求证：当 0x 时， 01 4 3ln 2  xexx . 22.参考答案：（1） ( ) ( ) ( )F x f x g x  21 ln ( 0)2 ax x x  ，∴ 1( ) ln 2F x ax x ax    1(ln )2ax x  ， 由 ( ) 0F x  得 1 2x e ，由 ( ) 0F x  ，得 1 20 x e    . ∴ ( )F x 在 1 2(0, )e  上单调递减，在 1 2( )e   ， 上单调递增， ∴ 1 2( ) ( ) 4 aF x F e e    极小值 ， ( )F x 无极大值. （2）问题等价于 2 2 3ln 4x xx x e   ，由（1）知 2( ) lnF x x x 的最小值为 1 2e  ，令 2 3( ) ( 0)4x xR x xe    ，∴ ( 2)( ) x x xR x e    ，易知 ( )R x 在 0 2， 上单调递增， 2 ， 上 单调递减，∴ max( ) (2)R x R  2 4 3 4e  ，又 2 1 4 3 3( )2 4 4e e     2 2 1 4 (3 8)( 2) 02 4 e e e e e      . ∴ min max( ) ( )F x R x ， 2 2 3ln 4x xx x e   ，故当 0x  时， 2 3 1ln 04 xx x e    成立.