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- 2021-04-17 发布
广西柳州高级中学、南宁市第二中学2018届高三上学期第二次联考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设是虚数单位，若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2.设，，，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3.甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．家类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小 D．乙类水果的质量服从正态分布的参数
4.已知单位向量，满足，则与的夹角是（ ）
A． B． C. D．
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为： “有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为（ ）
A．48里 B．24里 C. 12里 D．6里
6.如图，程序输出的结果，则判断框中应填（ ）
A． B． C. D．
7.已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
8.同时具备以下性质：“①最小周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（ ）
A． B． C. D．
9.在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）
A．36种 B．24种 C. 22种 D．20种
10.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和俯视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
A． B． C. D．
11.在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则当角取得最大值时，的周长为（ ）
A． B． C.3 D．
12.已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数，则 ．
14.在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
15.若，满足约束条件，等差数列满足，，其前项和为，则的最大值为 ．
16.过点引直线与曲线相交于、两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设，，数列满足：且.
求证：数列是等比数列；
求数列的通项公式.
18.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素
浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故
下浮10%
上两个年度未发生有责任道路交通事故
下浮20%
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故
下浮30%
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
0%
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故
上浮10%
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故
上浮30%
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量
10
5
5
20
15
5
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）
某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
19.如图所示，三棱柱中，已知侧面，，
，.
求证：平面；
是棱上的一点，若二面角的正弦值为，求线段的长.
20.如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.
求椭圆的方程；
是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率为，，.问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
21.已知函数.
讨论函数的单调性；
设的两个零点是，，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程；
若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于，两点，弦的中点为，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
求不等式的解集；
若函数的最小值为，整数、满足，求证.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13.8 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】由题知：，
又，∴，
∴是以4为首项，以2为公比的等比数列.
由可得，故.
，
∴，
，
，
……
.
累加得：，
，
即.
而，∴.
18.【解析】由题意可知的可能取值为，，，，，.
由统计数据可知：
，，，，，.
所以的分布列为：
所以.
①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至少有一辆事故车的概率为.
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-5000,10000.
所以的分布列为：
-5000
10000
所以.
所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望为万元.
19.【解析】证明：因为平面，平面，所以，
在中，，，，
由余弦定理得：，
故，所以，
又，∴平面.
由可以知道，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，.
令，∴，.
设平面的一个法向量为，
，
令，则，，
∴，
平面，∴是平面的一个法向量，
，两边平方并化简得，所以或.
∴或.
20.【解析】由在椭圆上得，①
依题设知，则②
②带入①解得，，.
故椭圆的方程为.
由题意可设的斜率为，
则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理，得，
设，，则有
，④
在方程③中令得，的坐标为.
从而，，.
注意到，，共线，则有，即有.
所以
⑤
④代入⑤得，
又，所以，故存在常数符合题意.
21. 【解析】函数的定义域为，
，
①当时，，，则在上单调递增；
②当时，时，，时，，
则在上单调递增，在上单调递减.
首先易知，且在上单调递增，在上单调递减，
不妨设，
，
构造，
又
∴，∴，∴在上单调递增，
∴，即，
又，是函数的零点且，∴
而，均大于，所以，所以，得证.
22.【解析】由题意的方程为：可得的普通方程为：，
将代入曲线方程可得：.
因为曲线的极坐标方程为，
所以.
又，，.
所以.
所以曲线的极坐标方程为：；曲线的直角坐标方程为：
.
因为点，化为直角坐标为所以.
因为直线过点且倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入中可得：，
所以由韦达定理：，，
所以.
23.【解析】当时，得.∴.
当时，得.∴无解.
当时，得.
所以，不等式的解集为或.
法一：，∴，即.
又由均值不等式有：，，
两式相加得.∴
当且仅当时等号成立.
法二：由柯西不等式得，∴
当且仅当即时等号成立.