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- 2021-04-17 发布
1 简单的逻辑联结词
【学习目标】
1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；
2. 会用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结两个命题或改写某些数学命题，并判
断命题的真假.
【要点梳理】
要点一、逻辑联结词“且”
一般地，用逻辑联结词“且”把命题 p 和 q 联结起来得到一个新命题，记作： p q ，
读作：“ p 且 q ”。
规定：当 p ， q 两命题有一个命题是假命题时， p q 是假命题；
当 p ， q 两命题都是真命题时， p q 是真命题。
要点诠释：
p q 的真假判定的理解：
（1）与物理中的电路类比
我们可以从串联电路理解联结词“且”的含义。
若开关 p，q 的闭合与断开分别对应命题 p，q 的真与假，则整个电路的接通与断开分别
对应命题 p∧q 的真与假。
（2）与集合中的交集类比
交集 { | }A B x x A x B 且 中的“且”与逻辑联结词的“且”含义一样，理解时
可参考交集的概念。
要点二、逻辑联结词“或”
一般地，用逻辑联结词“或”把命题 p 和 q 联结起来得到一个新命题，记作： p q ，
读作：“ p 或 q ”。
规定：当 p ， q 两命题有一个命题是真命题时， p q 是真命题；
当 p ， q 两命题都是假命题时， p q 是假命题。
要点诠释：
p q 的真假判定的理解：
（1）与物理中的电路类比
我们可以从并联电路理解联结词“或”的含义。
若开关 p，q 的闭合与断开对应命题的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题
的 p∨q 的真与假。
q
p
（2）与集合中的并集类比
并集 { | }A B x x A x B 或 中的“或”与逻辑联结词的“或”含义一样，理解时
可参考并集的概念。
（3）“或”有三层含义，以“p 或 q”为例：
①p 成立且 q 不成立；
②p 不成立但 q 成立；
③p 成立且 q 也成立。
要点三、逻辑联结词“非”
一般地，对一个命题 p 全盘否定得到一个新命题，记作： p ，读作：“非 p 或 p 的否
定”。
规定：当 p 是真命题时， p 必定是假命题；
当 p 是假命题时， p 必定是真命题。
要点诠释：
（1）逻辑联结词中的“非”相当于集合中补集的概念，谈到补集必然要说全集，谈论
“非”时也应该弄清这件事是在一个什么样的范围中研究。
（2）下面是一些常用词的否定：
是 等于 属于 有 都是 至少
一个
至多
一个 一定 x=1 或 x=2 x＞1 且 x＜3
不是 不等于 不属于 没有 不都是
一个
都没
有
至少
两个 一定不 x≠1 且 x≠2 x≤1 或 x≥3
（3）否命题与命题的否定之间的区别：
否命题是对原命题的条件和结论分别做否定后得到的命题（否定二次）；命题的否定
是只对原命题的结论做否定（否定一次），即 p .如：
命题 p : 若 1x ，则 ( 1)( 1) 0x x ．
命题 p 的否命题：若 1x ，则 ( 1)( 1) 0x x ．
命题 p 的否定即 p :若 1x ，则 ( 1)( 1) 0x x ．
（4）“或”、“且”联结的命题的否定形式：
“p 或 q”的否定 p q 且 ；
“p 且 q”的否定 p q 或
要点四、简单命题与复合命题
（1）定义：
简单命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题。
复合命题：由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题叫做复合命题。
（2）复合命题的构成形式：
①p 或 q；记作： p q
②p 且 q；记作： p q
③非 p（即命题 p 的否定）；记作： p
（3）复合命题的真假判断
p q p p q p q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
要点诠释：
①当 p、q 同时为假时，“p 或 q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；
②当 p、q 同时为真时，“p 且 q”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”。
③“非 p”与 p 的真假相反.
【典型例题】
类型一：复合命题的构成
例 1．指出下列复合命题的结构，写出构成其的简单命题．
(1) 菱形的对角线互相垂直平分；
(2) 2 不是无理数；
（3）6 是 12 或 18 的约数.
【解析】
（1） p 且 q 的形式，其中 p ：菱形的对角线互相垂直， q ：菱形对角线互相平分；
（2）非 p 的形式，其中 p ： 2 是无理数；
（3） p 或 q 的形式，其中 p ：6 是 12 的约数， q ：6 是 18 的约数.
【总结升华】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键。根据上述
各复合命题中出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式。
举一反三：
【变式 1】判断下列复合命题的形式，写出构成其的简单命题
（1）1 是奇数或偶数；
（2）梯形不是平行四边形；
（3）2 是偶数也是质数.
【答案】
（1） p 或 q 的形式，其中 p ：1 是奇数， q ：1 是偶数；
（2）非 p 的形式，其中 p ：梯形是平行四边形；
（3） p 且 q 的形式，其中 p ：2 是偶数， q ：2 是质数。
例 2.判断下列命题中是否含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，若含有，请指出其中 p、
q 的基本命题.
（1） 正方形的对角线垂直相等；
（2） 2 是 4 和 6 的约数；
（3） 不等式 2 5 6 0x x 的解集为 3 2x x x 或 。
【解析】（1）是“ p 且 q ”形式的命题，其中 p：正方形的对角线互相垂直；q：正方
形的对角线相等.
（2）是“ p 且 q ”形式的命题，其中 p：2 是 4 的约数；q：2 是 6 的约数.
（3）是简单命题，而不是用“或”联结的复合命题
【总结升华】对于用逻辑联结词“或”、“且”、“非”联结的新命题的结构特点不能仅从字
面上看它是否含有“或”、“且”、“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结
词联结两个命题.
举一反三：
【高清课堂：简单的逻辑联结词 xxxxxx 例 1】
【变式 1】将下列各组命题用“且”联结组成新命题：
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，
q：平行四边形的对角线相等；
（2）p：集合 A 是 A B 的子集，
q：集合 A 是 A B 的子集；
（3）p： 2 1 1x ，
q：3>4.
【答案】
（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等；
（2）p∧q：集合 A 是 A B 的子集，且是 A B 的子集；
（3）p∧q： 2 1 1x ，且 3>4.
【变式 2】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题。
（1） 李明是老师，赵山也是老师；
（2） 1 是合数或质数；
（3） 他是运动员兼教练员；
【答案】
（1）这个命题是“ p 且 q ”形式，其中 p：李明是老师，q：赵山是老师。
（2）这个命题是“ p 或 q ”形式，其中 p：1 是合数，q：1 是质数。
（3）这个命题是“ p 且 q ”形式，其中 p：他是运动员，q：他是教练员。
例 3．已知命题 p 、 q ，写出 p 或 q 、 p 且 q 、非 p 的形式并判断真假。
（1） p : 2{ | 1}x x , q ： Ü 2{ | 1}x x .
（2） p : 3 4 , q :3 4
【解析】
（1） p 或 q ： 2{ | 1}x x 或 Ü 2{ | 1}x x ，即 2{ | 1}x x （真命题），
p 且 q ： 2{ | 1}x x 且 Ü 2{ | 1}x x （假命题），
非 p （ p ）： 2{ | 1}x x （真命题），
（2） p 或 q ：3 4 或3 4 ，即3 4 （真命题），
p 且 q ：3 4 且3 4 （假命题），
非 p （ p ）：3 4 ，即3 4 （假命题）.
【总结升华】 先判断各简单命题的真假，再依据复合命题的构成形式写出复合命题，
最后判断复合命题的真假．
举一反三：
【变式 1】已知命题 p 、q ，试写出 p 或 q 、 p 且 q 、非 p 的形式的命题并判断真假.
(1) p :平行四边形的一组对边平行， q :平行四边形的一组对边相等
(2) p ： 2 {1,3,5,7} ， q ： 2 {2,4,6,8}
(3) p :1 {1 2} ， , q :{1} Ü {1 2}，
【答案】
（1） p 或 q ：平行四边形的一组对边平行或相等（真命题）；
p 且 q ：平行四边形的一组对边平行且相等（真命题）；
非 p ：平行四边形的一组对边不平行（假命题）。
（2） p 或 q ： 2 {1,3,5,7} 或 2 {2,4,6,8} ，即 2 {1,2,3,4,5,6,7,8} （真命题）
p 且 q ： 2 {1,3,5,7} 且 2 {2,4,6,8} （假命题）
非 p ： 2 {1,3,5,7} （真命题）
（3） p 或 q ：1 {1 2} ， 或{1} Ü {1 2}， （真命题）
p 且 q ：1 {1 2} ， 且{1} Ü {1 2}， （真命题）
非 p ：1 {1 2} ， （假命题）
【变式 2】（2015 秋 宣城期末）“a2+b2≠0”的含义为（ ）
A．a 和 b 都不为 0
B．a 和 b 至少有一个为 0
C．a 和 b 至少有一个不为 0
D．a 不为 0 且 b 为 0，或 b 不为 0 且 a 为 0
【答案】
a2+b2≠0 的等价条件得 a≠0 或 b≠0，即两者中至少有一个不为 0，对照四个选项，只有
C 与此意思相同，C 正确；
A 中 a 和 b 都不 0，是 a2+b2≠0 的充分不必要条件；
B 中 a 和 b 至少有一个为 0 包括了两个数都是 0，故不对；
D 中只是两个数仅有一个为 0，概括不全面，故不对；
故选 C。
类型二：复合命题真假的判定
例 4. (2015 湖南)已知命题 p：若 x＞y，则－x＜－y；命题 q：若 x＞y，则 x2＞y2，在命
题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q 中，真命题是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【答案】C．
【解析】根据不等式的性质可知，若 x＞y，则－x＜－y 成立，即 p 为真命题，
当 x＝1，y＝－1 时，满足 x＞y，但 x2＞y2 不成立，即命题 q 为假命题，
则①p∧q 为假命题；②p∨q 为真命题；③p∧(￢q)为真命题；④(￢p)∨q 为假命题，
故选：C．
【总结升华】解答这类逻辑推理问题关键在于充分利用真值表进行分析，也就是由给出复合
命题的真假情况，利用真值表逆向思考，从而推断出组成复合命题的简单命题的真值情况，
再判断相关命题正确与否.
举一反三：
【变式 1】已知命题：
p：对任意 x
∈
R，总有|x|≥0，q：x＝1 是方程 x＋2＝0 的根；则下列命题为真命题的是
( )
A．p
∧
￢q B．￢p
∧
q C．￢p
∧
￢q D． p
∧
q
【答案】根据绝对值的性质可知，对任意 x
∈
R，总有|x|≥0 成立，即 p 为真命题，
当 x＝1 时，x＋2＝3≠0，即 x＝1 不是方程 x＋2＝0 的根，即 q 为假命题，
则 p
∧
￢q，为真命题，
故选：A．
【变式 2】已知命题 p：3≥3；q：3＞4，则下列判断正确的是（ ）
A． p q 为真， p q 为真， p 为假
B． p q 为真， p q 为假， p 为真
C． p q 为假， p q 为假， p 为假
D． p q 为真， p q 为假， p 为假
【答案】D
【高清课堂：简单的逻辑联结词 xxxxxx 例 5】
【变式 3】已知命题 p：所有有理数都是实数，命题 q：正数的对数都是负数，则下列
命题为真命题的是（ ）
（A）(¬p)∨q （B） p∧q
（C）(¬p)∨(¬q) （D）(¬p)∧(¬q)
【答案】C
类型三：命题的否定与否命题
例 5．写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.
（1） p ：在整数范围内， a 、b 都是偶数，则 a b 是偶数
（2） p ：若 0x 且 0y ，则 0x y ．
【解析】
(1) p ：在整数范围内， a 、b 都是偶数，则 a b 不是偶数（假命题）；
p 的否命题是：在整数范围内，若 a 、b 不都是偶数，则 a b 不是偶数（假命题）；
(2) p ：若 0x 且 0y ，则 0x y （假命题）；
p 的否命题是：若 0x 或 0y ，则 0x y （假命题）.
【总结升华】
①“ 0x 且 0y ”的否定是“ 0x 或 0y ”；“ a 、b 都是偶数"的否定为“ a 、b
不都是偶数”．
② 命题的否定和否命题是不一样的.
举一反三：
【变式 1】写出下列命题的否定和否命题，并判定其真假.
（1） p ：若 2 2 0x y ，则 x , y 全为零；
（2） p ：若 3x 且 5y ，则 8x y .
【答案】
（1） p 的否定：若 2 2 0x y ，则 x , y 不全为零（假命题）；
p 的否命题：若 2 2 0x y ，则 x , y 不全为零（真命题）；
（2） p 的否定：若 3x 且 5y ，则 8x y （假命题）；
p 的否命题：若 3x 或 5y ，则 8x y （假命题）.
【变式 2】“ 0xy ”是指 （填出符合条件的所有选项）
A. 0x 且 0y B. 0x 或 0y C. x , y 至少有一个不是 0
D. x , y 都不是 0 E. x , y 不都是 0
【答案】A、D；
【解析】 0xy 指 x , y 都不是 0，即 0x 且 0y .