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- 2021-04-17 发布
2018级高二上学期开学考试
数学试卷
考生注意：
1.本卷共3页，22小题，满分100分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间90分钟.
2.请在答题卡指定位置上答题，在本试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.以下五个关系：，，，，，其中正确的个数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
是集合，是元素，注意集合与集合、元素的关系表示符号.
【详解】是相等的集合，具有子集关系，故正确；与是集合与集合的关系，不能使用符号，故错误；与是元素与集合的关系，但是中不包含元素，故错误；表示集合中包含的元素也是集合，且是，而表示集合中包含的是元素是数字，两者之间没有关系，故错误；根据空集是任何非空集合的真子集，故正确.正确的有个.
故选：B.
【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合的关系判断，难度较易.注意空集是任何非空集合的真子集.
2.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分析每个集合中表示元素的范围，然后求交集.
【详解】因为，所以；因为，所以；
则.
故选：D.
【点睛】注意与中的表示元素不同，表示的取值范围，表示图象上点的坐标.
3.在五个数，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过列举法得到取三个数的总的可能数，然后看其中满足剩余两个数字都是奇数的种数，利用古典概型概率计算公式求解.
【详解】以表示可能出现的情况：
共种；满足条件的有：共种，所以，
故选：A.
【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难度较易.列举的时候注意不要遗漏.
4.一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A. 81.2，4.4 B. 78.8，4.4 C. 81.2，84.4 D. 78.8，75.6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均数和方差的公式性质求解，原数据的平均数为1.2加80，方差不变，可得答案.
【详解】解：设这组数据为，平均数为，方差为；
则新数据为
它的平均数是
，
；
方差为
故选：A．
【点睛】本题主要考察平均数与方差的计算，关键是要掌握平均数与方差的性质和计算公式.
5.设，定点到动直线的距离最大值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作出示意图，给定倾斜角，利用倾斜角表示距离，再计算最大值.
【详解】
，考虑到过原点直线的对称性，取，所以，此时的直线方程为：，
故选：C.
【点睛】本题考查点到直线的距离的最值，难度较易.处理点到直线距离最值的问题，可采用图示法也可以采用公式直接计算.
6.若函数是偶函数，且在上是增函数，则实数可能是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据偶函数得到的表达式，再根据单调性确定的可能取值.
【详解】因为函数是偶函数，所以，排除A，C；当时，函数在上是减函数，故排除B，
故选：D.
【点睛】已知三角函数的奇偶性，求解函数中参数时，可借助诱导公式的“奇变偶不变”的原则去判断.
7.已知等比数列的前项和为，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等比数列的前项和性质可知：成等比数列，再根据计算出结果.
【详解】因为成等比数列，
所以
代入数值所以，则.
【点睛】（1）形如的式子，可表示为；
（2）等比数列中前项和为，则有成等比数列，其中公比或时且不为偶数.
8.若，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数和幂函数的单调性判断数值大小.
【详解】因为在上单调递减，所以，则；
又因为在上单调递增，所以，所以；则，
故选：A.
【点睛】指对数比较大小常用的方法：（1）利用单调性比较；（2）借助中间值比较（比如中间值‘’）.
9.在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．
【详解】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
（）
，
故选：B．
【点睛】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．
10.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到函数的周期是8，然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.
【详解】因为满足，所以，
所以函数是以8为周期的周期函数，
则.
由是定义在上的奇函数，
且满足，得.
因为在区间上是增函数，是定义在上的奇函数，
所以在区间上是增函数，
所以，即.
【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
11.函数在上是减函数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据复合函数的单调性以及的单调性判断出的基本范围，然后再根据真数大于零计算出的最终范围.
【详解】因为，所以在上是减函数，又因为在上是减函数，所以是增函数，所以；又因为对数的真数大于零，则，所以；则.
故选：C.
【点睛】复合函数单调性的判断依据：“同増异减”，即内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数，内外层函数单调性相反时，整个函数为减函数.
12.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为
A. -1 B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】
由，可求得交点坐标为，
要使直线上存在点满足约束条件，
如图所示，可得，所以最大值为1，故选B.
第Ⅱ卷（非选择题，共64分）
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答题卡相应位置.
13.已知函数为奇函数，则__________；
【答案】
【解析】
【分析】
根据求解出的值.
【详解】因为，则，且，所以.
【点睛】已知函数为奇函数，可通过定义法：来求解其中参数的值.这里不能直接使用，因为定义域未知.
14.已知函数的定义域是，则函数的定义域是__________；
【答案】
【解析】
【分析】
由的定义域求解的定义域，的定义域相当于的值域.
【详解】因为的定义域是，所以，则中，即的定义域是.
【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题，难度较易.注意由的定义域求解的定义域、由的定义域求解的定义域，两者的区别.
15.在中，角所对的边分别为，若其面积，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形的面积公式与已知条件相等，结合余弦定理可得，即等于1，根据的范围利用特殊角的三角函数值即可得到
的度数．
【详解】由已知得：变形为：，
结合余弦定理可得，即，
又，
则，故答案为.
点睛：本题主要考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题．
16.已知，，，则，的夹角是__________；
【答案】
【解析】
【分析】
根据模长得到三角函数关系式，再利用数量积公式计算夹角.
【详解】因为，所以，所以，又，所以.
【点睛】本题考查向量数量积公式坐标表示的运用，难度一般.对于向量加法或者减法形式的模长，可以通过平方的方法将其转变为数量积的表示形式.
17.已知数列中，，，，……，，……构成为首项，为公比的等比数列，则数列的通项公式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等比数列得到：的递推公式，然后再计算的通项公式.
详解】由题意知：，所以，则，当时，符合.
则.
【点睛】本题考查利用数列递推公式求解数列通项公式，难度一般.利用累加法求解数列通项公式的时候，要注意由求解出数列通项公式后，一定要验证是否符合，若不符合则写成分段数列的形式.
三、解答题：本大题共5个小题，满分44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（1）计算；
（2）已知，求的值；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用对数运算法则直接化简计算；（2）将表示成形式表示出来再计算.
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
又.
点睛】（1）巧用对数换底公式：；
（2）同角的三角函数中“齐次”问题的解法：（分子分母同除）；（分子分母同除）.
19.已知为坐标原点，，，（，，是常数），若，当时，的最大值为，
（1）求的值；
（2）中，角，，所对的边分别为，，，已知，，边长，，成等比，试求的外接圆半径长；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据化简表达式，再根据最大值求解的值；（2）根据求解，再利用余弦定理求解的值，再根据正弦定理求解外接圆半径.
【详解】（1）
，又，
所以，则且此时 ，则.
（2）因为，，所以且，则，
由且，可得：；
又，所以.
【点睛】正弦定理与外接圆的半径之间的关系：.这是求解三角形外接圆的半径或面积的有效方法.
20.已知是定义在上的奇函数，且，如果曲线在定义域区间上任意两点连线的斜率均大于零.
（1）判断在上的单调性，并证明它；
（2）解不等式；
（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递增，证明见解析（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用定义法证明单调性；（2）根据单调性将函数值之间的关系转变为自变量之间的关系；（3）将恒成立问题转变为一次函数在给定区间大于等于，从而求解参数范围.
【详解】（1）任取且，据题意有：，因为，所以，则在上单调递增；
（2）因为在上单调递增，根据可得：解得：；
（3）因为对所有的恒成立，所以，因为，所以对所有的恒成立，
则： ，解得：.
【点睛】（）定义法判断函数单调性的变形：可判断是单调增（减）函数；可判断是单调增（减）函数；
（2）的恒成立问题，只要：即可.
21.已知数列中，，
（1）求通项公式；
（2）设，求的前项和；
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式构造等比数列求通项公式；（2）利用错位相减法对数列求和.
【详解】（1）因为，所以，则数列是首项为公比为2的等比数列，则：即；
（2），记的前项和为，则：
，则，
两式相减：.
则的前项和为：.
【点睛】（1）形如的递推公式，可采用构造等比数列的方法求解数列通项公式；
（2）错位相减法一般适用于：等差乘以等比形式的数列求和.
22.已知函数为偶函数，曲线与轴交于两点，，，与轴交于点，
（1）求的解析式；
（2）过曲线上任意一点作与直线夹角为的直线，交于点，求的最小值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）先分析得出是二次函数，然后根据已知条件求解函数解析式；（2）数形结合进行分析，找到最小值对应的位置，然后计算.
【详解】（1）由条件可知为二次函数，故设且，则，又由为偶函数可知对称轴，又因为，所以图象过，则解得，所以；
（2）
作出与的图象，表示到直线的距离，根据条件可知：，故有最小值时，有最小值.将直线平移至与相切，此时切点到直线的距离最小，即最小，此时有最小值.设切线方程为：，联立可得：，，，则与的距离 ，
则.
【点睛】直线与曲线相离时，求曲线上一点到直线的最小距离，可将直线平移至与曲线相切，此时的切点到直线的距离即为曲线上点的到直线的最短距离（平移至相切）.