- 398.50 KB
- 2021-04-17 发布
峨山一中2017-2018学年上学期高三期末考试仿真测试卷
数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|＜2x≤2}，B={x|ln（x﹣）≤0}，则A∩（∁RB）=（ ）
A．∅ B．（﹣1，]
C．[，1） D．（﹣1，1]
2．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ）
A．2+i B．2﹣i
C．5+i D．5﹣i
3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．
4．（5分）已知命题p：“∃x0∈R，”，命题q：“b2=ac是a，b，c成等比数列的充要条件”．则下列命题中为真命题的是（ ）
A．p∧q B．（￢p）∧q
C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）
5．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＜1，若a3+a5=20，a3a5=64，则S4=（ ）
A．63或126 B．252 C．120 D．63
6．（5分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0
C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0
7．（5分）如图所示的流程图，最后输出n的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+
f′（x）的一个单调递减区间是（ ）
A．[，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．（5分）正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（ ）
A．7π B．19π C．π D．π
11．（5分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（ ）
A．x=﹣ B．x=﹣2 C．x=﹣2 D．x=﹣1
12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为 ．
14．（5分）化简：﹣= ．
15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
16．（5分）已知函数f（x）=（kx+）ex﹣x，若f（x）＜0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求tanC的值；
（2）若，求△ABC的面积．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn=log3a2n，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．
19．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（I）求证：MN∥平面ABCD；
（II）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值．
20．（12分）设函数f（x）=﹣x2+ax+2（x2﹣x）lnx．
（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求整数a的最小值．
21．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上；
（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．
（Ⅰ）求曲线C的参数方程；
（Ⅱ）若曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，在曲线C上任取一点P，且点P在第一象限，求四边形OAPB面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．
【参考答案】
一、选择题
1．B
【解析】∵A={x|＜2x≤2}={x|﹣1＜x≤1}，B={x|ln（x﹣）≤0}={x|＜x≤}，
∴∁RB={x|x＞或x}，则A∩（∁RB）=（﹣1，]．
故选：B．
2．D
【解析】∵（z﹣3）（2﹣i）=5，
∴z﹣3==2+i
∴z=5+i，
∴=5﹣i．
故选D．
3．C
【解析】作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）
设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（，）=
故选：C
4．C
【解析】当x＜﹣2，或x＞1时，，故命题p为真命题；
b2=ac=0时，a，b，c不是等比数列，帮命题q为假命题；
故命题p∧q，（￢p）∧q，（￢p）∧（￢q）均为假命题；
p∧（￢q）为真命题；
故选：C
5．C
【解析】∵＜1，
∴0＜q＜1，
∵a3a5=64，a3+a5=20，
∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，
∵an＞0，0＜q＜1，
∴a3＞a5，
∴a3=16，a5=4，
∴q=，
∴a1=64，a2=32，a3=16，a4=8，
∴S4=a1+a2+a3+a4=64+32+16+8=120，
故选：C
6．D
【解析】设圆心为（a，0）（a＞0），
由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）
则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0
故选D
7．C
【解析】模拟执行程序框图，可得n=1，n=2
不满足条件2n＞n2，n=3
不满足条件2n＞n2，n=4
不满足条件2n＞n2，n=5
满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．
故选：C．
8．A
【解析】函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，
则函数y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+）+2cos（2x+）
=sin（2x++）=2sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
可得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
所以函数的一个单调减区间为：[，]．
故选：A．
9．B
【解析】y2=﹣8x的准线方程为l：x=2，
∵双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，△ABO的面积为，
∴=，
∴b=a，
∴c=2a，
∴e==2．
故选：B．
10．A
【解析】根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC
的外接圆的半径为=1
由题意可得：球心到底面的距离为，
∴球的半径为r==．
外接球的表面积为：4πr2=7π
故选：A．
11．A
【解析】设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，
∵四边形AA1CF的面积为12，
∴=12，
∴m=，∴=，
∴准线l的方程为x=﹣，
故选A．
12．A
【解析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD==
∴BC•CD=BD•r，
∴r=，
∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，
设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），
∵=λ+μ，
∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A
二、填空题
13．﹣5
【解析】∵，∴||=2
∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，即•=﹣4，
∴（﹣）•=•﹣=﹣4﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．
14．4
【解析】由﹣==．故答案为4．
15．
【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，
底面面积S=4×8=32，高h=4，
故体积V==，
故答案为：
16．（）
【解析】f（x）＜0的解集中只有一个正整数，即（kx+）ex﹣x＜0的解集中只有一个正整数，
也就是kx+＜的解集中只有一个正整数，
令g（x）=，则g′（x）=，
当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
如图：函数y=kx+恒过定点（0，），
曲线g（x）=上的点（1，），（2，），
过（0，）与（1，）的直线的斜率为k=，
过（0，）与（2，）的直线的斜率为k=．
∴要使f（x）＜0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为（）．
故答案为：（）．
三、解答题
17．解：（1）∵，
∴，
又=sinAcosC+sinCcosA=．
整理得．
（2）由即=，且sin2C+cos2C=1，
得．cosC=，
则sinB=cosC=sinC，即有B=C，即b=c，
又由正弦定理知：，
c==，
故，a=，b=．
∴△ABC的面积为：S=absinC=×××=．
18．解：（1）∵an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2时，an=2Sn﹣1+1，
可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．
n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．
∴数列{an}是等比数列，∴an=3n﹣1．
（2）c=log3a2n==2n﹣1．
bn===（），
数列{bn}的前 n 项和Tn=+…++]
=（1+）.
19．证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
依题意A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M，N分别为B1C和D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．
由题意得=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，
=（0，﹣，0），
∵=0，又∵直线MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（II）=（1，﹣2，2），，设为平面ACD1的法向量，则，不妨设z=1，得=（0，1，1），
设为平面ACB1的一个法向量，=（0，1，2），
则，不妨设z=1，得=（0，﹣2，1），
∴cos＜＞==﹣，于是sin＜＞==，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为．
20．解：（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=2时，f（x）=﹣x2+2x+2（x2﹣x）lnx，
所以f′（x）=﹣2x+2+2（2x﹣1）lnx+2（x2﹣x）•=（4x﹣2）lnx，
由f'（x）＞0可得：（4x﹣2）lnx＞0，
所以或，
解得x＞1或0＜x＜；
由f'（x）＜0可得：（4x﹣2）lnx＜0，
所以或，
解得：＜x＜1．
综上可知：f（x）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）．
（2）若x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，
即a＞x﹣2（x﹣1）lnx恒成立，
令g（x）=x﹣2（x﹣1）lnx，则a＞g（x）max．
因为g′（x）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx﹣1+，
所以g'（x）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，
故存在x0∈（1，2）使得g（x）在（0，x0）上为增函数，在（x0，+∞）上是减函数，
∴x=x0时，g（x）max=g（x0）≈0，
∴a＞0，又因为a∈Z，所以amin=1．
21．解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），
即有b=，a2﹣c2=，
解得a=1，c=，
可得椭圆的方程为x2+4y2=1；
（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，
由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，
则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），
可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，
可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，
△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），
直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．
即有点M在定直线y=﹣上；
（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），
则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；
S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，
则=，
令1+2x02=t（t≥1），则==
==2+﹣=﹣（﹣）2+，
则当t=2，即x0=时，取得最大值，
此时点P的坐标为（，）．
22．解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，
即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即．
∴曲线C的参数方程为（α为参数）．
（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，
∴由已知可得A（2，0），B（0，1），
设．
则，
所以四边形OAPB面积．
当时，四边形OAPB的面积取最大值．
23．解：（Ⅰ）∵m＞1，∴，
作出函数f（x）的图象，如图所示：
由f（x）＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}及函数图象，
可得，得m=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，∴f（x）的最小值为2．
关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，则2＜a2+a﹣4，即a2+a﹣6＞0，
即（a+3）（a﹣2）＞0，∴a＜﹣3，或a＞2，
实数a的取值范围{a|a＜﹣3，或a＞2 }．