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- 2021-04-17 发布
2018届高三年级10月学情调研
数学Ⅰ
参考公式：
圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.
圆锥的体积公式：=Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 若集合,则 .
2. 设复数满足 (为虚数单位),则= .
3. 某单位有职工52人,现将所有职工按1,2,3,…,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号、32号、45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是 .
4. 运行如图所示的程序框图,输出的= .
(第4题)
5. 若函数的图象关于点中心对称,则= .
6. 如图,在长方体中,，则三棱锥的体积为 cm3.
(第6题)
7. 从这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是 .
8. 已知等差数列的公差为,且成等比数列,则= .
9. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线E:的左顶点为A,过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B,C两点.若△ABC为直角三角形,则双曲线E的离心率为 .
10. 已知,则的解集是 .
11. 已知变量满足约束条件表示平面区域M.若时,动直线所经过的平面区域M的面积为,则= .
12. 在平面直角坐标系中,圆C:分别交轴正半轴及轴负半轴于两点,点为圆C上任意一点,则的最大值为 .
13. 如图所示,矩形的一边在轴上,另两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为,矩形的周长记为,则 .
(第13题)
14. 设为函数图象上一动点,记,
则的最小值为 .
二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)已知，均为锐角,且,.
(1) 求的值;(2) 求的值.
16. (本小题满分14分)在三棱锥中,平面,，点是边的中点,点是线段上一点,且,点是线段上一点.
(第16题)
(1) 求证:
(2) 若平面,求证:∥平面.
17. (本小题满分14分)如图,已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上(为椭圆的离心率).
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若点 (在第一象限)都在椭圆上,满足,且,求实数的值.
(第17题)
18.（本小题满分16分）
轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系,x轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:m.
(1) 求助跑道所在的抛物线方程;
(2) 若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4m到6m之间(包括4m和6m),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?
(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值)
(第18题)
19．（本小题满分16分）已知数列中 (为非零常数),其前项和满足 ().
(1) 求数列的通项公式;
(2) 若,且,求的值;
(3) 是否存在实数，使得对任意正整数,数列中满足的最大项恰为第项?若存在,分别求出与的取值范围;若不存在,请说明理由.
20.（本小题满分16分）已知函数
(1) 当时,求函数的极大值;
(2) 求函数的单调区间;
(3) 当时,设函数,若实数满足,且,求证:.
2018届高三年级10月学情调研数学
第Ⅰ卷参考答案及评分标准
1.[0,1] 【解析】因为M=[-1,1],N=[0,2],所以M∩N=[0,1].
2.1 【解析】因为z==-i,所以|z|=1.
3.19 【解析】系统抽样号码呈等距性,即成等差数列.
4.17 【解析】由算法可知S=2×7+3=17.
5 【解析】由题意知3sin2×+φ=0,则φ+=kπ(k∈Z),φ=kπ-(k∈Z).又0<φ<π,所以φ=.
6.3 【解析】==××2×3×3=3.
7. 【解析】无重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32,共9个.其中偶数有10,12,20,30,32,共5个.故所求概率为.
8.-30 【解析】由题意知a3=a1-4,a4=a1-6,又a1,a3,a4成等比数列,
所以=a1·a4,即(a1-4)2=a1(a1-6),解得a1=8,所以a20=a1+19d=8-19×2=-30.
9.2 【解析】由题意知∠BAC=90°,所以AF=BF,AF=c+a.由F(c,0),
知B,所以BF=,所以c+a=,即ac+a2=b2=c2-a2,
所以c2-ac-2a2=0,所以--2=0,即e2-e-2=0,解得e=2.
11. 【解析】f(x)=x|x+1|=如图,由f),
所以m=+=+=+=6++.
由x>,得x2-3>0,x-1>0.
由基本不等式可知m≥6+2=8,当且仅当=,
即x=2时“=”成立.
15.（1）因为为锐角且，所以，，
又因为， --------- 分
(2) 因为为锐角且，所以，
又
--------------14分
16.(1) 因为AB=AC,D是BC的中点,
所以AD⊥BC.
⇒⇒
⇒BC⊥AM.(7分)
(2) 因为AM⊥平面SBC,
所以AM⊥SD.
令AB=a,BC=3a,则AD=a,SD=a,AM=a,MD=a,所以SM=4MD.
⇒⇒EM∥平面ABS.(14分)
17.(1) 由已知,a=2,e=,代入椭圆方程,得+=1.(2分)
因为b2+c2=4,所以b2=1,c2=3,
所以椭圆的方程为+y2=1.(4分)
(2) 设直线OC的斜率为k,
则直线OC的方程为y=kx,
代入椭圆方程+y2=1,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4,所以xC=,
则C.(6分)
又直线AB的方程为y=k(x-2),代入椭圆方程x2+4y2=4,
得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.因为xA=2,所以xB=,
则B.(8分)
因为·=0,
所以·+·=0,所以k2=.
因为点C在第一象限,所以k>0,k=.(10分)
因为=,==,
由=λ,得λ=.(12分)
因为k=,所以λ=.(14分)
18.(1) 设助跑道所在的抛物线方程为f(x)=a0x2+b0x+c0,
依题意(2分)
解得a0=1,b0=-4,c0=4, (4分)
所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)=x2-4x+4.(6分)
(2) 设飞行轨迹所在抛物线为g(x)=ax2+bx+c(a<0),
依题意得解得(8分)
所以g(x)=ax2+(2-6a)x+9a-5
=a+1-.
令g(x)=1,得=.
因为a<0,所以x=-=3-.(10分)
当x=时,g(x)有最大值为1-,则运动员的飞行距离d=3--3=-,(12分)
飞行过程中距离平台最大高度h=1--1=-,依题意,4≤-≤6,得2≤-≤3, (14分)
答：飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2m到3m之间.(16分)
19.(1) 由已知得a1=S1==0,所以Sn=,(2分)
则有Sn+1=,
所以2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,
即(n-1)an+1=nan,n∈N*,
所以nan+2=(n+1)an+1,
两式相减,得2an+1=an+2+an,n∈N*,(4分)
即an+1-an+1=an+1-an,n∈N*,
故数列{an}是等差数列.
又a1=0,a2=a,所以an=(n-1)a.(6分)
(2) 若a=2,则an=2(n-1),
所以Sn=n(n-1).
由-Sn=11,得n2-n+11=(m-1)2,
即4(m-1)2-(2n-1)2=43,所以(2m+2n-3)(2m-2n-1)=43.(8分)
因为43是质数,2m+2n-3>2m-2n-1,2m+2n-3>0,
所以
解得m=12,n=11.(10分)
(3) 假设存在满足题意的a,b,由an+b≤p,得a(n-1)+b≤p.
若a<0,则n≥+1,不合题意,舍去;(12分)
若a>0,则n≤+1.因为不等式an+b≤p成立的最大正整数解为3p-2,
所以3p-2≤+1<3p-1,(14分)
即2a-b<(3a-1)p≤3a-b对任意正整数p都成立.所以3a-1=0,即a=,
此时,-b<0≤1-b,解得-时,由f'(x)=0,得x1=,x2=.
Ⅰ) 若-x2>0,
由f'(x)<0,得0x1;由f'(x)>0,得x20,则x1>0>x2,
由f'(x)<0,得x>x1;由f'(x)>0,得01).
由g=g(a),得=|ln(a-1)|.
因为12.(12分)
由g(b)=2g,得|ln(b-1)|=2=2.(*)
因为≥=1,所以(*)式可化为ln(b-1)=2ln[(a-1)+(b-1)],
即b-1=.(14分)
令b-1=t(t>1),则t=,整理得t4-4t3+2t2+1=0,从而(t-1)(t3-3t2-t-1)=0,即t3-3t2-t-1=0.
记h(t)=t3-3t2-t-1,t>1.h'(t)=3t2-6t-1,令h'(t)=0,得t=1-(舍去)或t=1+.
列表:
t
h'(t)
-
+
h(t)
↘
↗
所以h(t)在上单调递减,在上单调递增.又因为h(3)<0,h(4)>0,所以3|==.(6分)
(2) 设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c),=(2,0,0).因为m·=a+2b-3c=0,m·=4a=0,
所以a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.所以m=(0,3,2).(8分)
设二面角B1A1DC1的大小为α,
所以|cosα|=-|cos|=-
=-
=-=-.
钝二面角B1A1DC1的余弦值为(10分)