- 2.14 MB
- 2021-04-17 发布
河北辛集中学2017级高三上学期期中考试
高三文科数学试卷
第I卷选择题部分
一、单选题（每题5分）
1.设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，进而求交集即可.
【详解】由题意可得：，
又，
所以，
故选：B
【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2. 下列3个命题中，正确的个数为（ ）
①命题“”的否定是“”；
②“为真”是“为真”的充分条件；
③“若则为真”是“若则为真”的充要条件.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：全称命题的否定需注意量词的变化以及结论的否定，所以①正确；若“为真”则都为真，若“为真”则有可能一真一假，所以②正确；“则为真”与“则为真”互为逆否命题，所以③正确.
考点：简易逻辑.
3.已知是虚数单位，则复数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的运算,化简即可得解.
【详解】复数化简可得
所以选A
【点睛】本题考查了复数的乘法、除法和加法运算，属于基础题。
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数，然后根据三角函数图象变换的知识选出答案.
【详解】依题意，故只需将函数的图象向左平移个单位.所以选C.
【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.
5.如图，梯形中，，且，对角线相交于点O，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图形以及相似关系将未知向量用已知向量表示，注意比例运用.
【详解】由题意得，，：，，，，.
故选：B.
【点睛】本题考查向量线性运算，难度一般.关键是能通过图形将未知的向量用已知的向量表示出来，这里比例关系的运用很重要.
6.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意可得：，
，则：.
本题选择C选项.
7.已知，满足则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
作出不等式组表示的平面区域，如图所示，表示点与点的距离，由图可得，的最小值就是点到直线的距离，最小值是的最大值是点与点的距离，由，可得，，，的取值范围是，故选C.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，或者根据目标函数的几何意义）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8.若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由，展开后利用基本不等式即可得解.
【详解】因为两个正实数，满足
所以，
当且仅当时取等号，
又恒成立，故，
解得．故选C．
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用．
9.设数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由并项求和结合等比数列求和即可得解
【详解】由题
故选：D
【点睛】本题考查数列求和，等比数列求和公式，准确计算是关键，是基础题
10.如图，长方体的体积为，E为棱上的点,且，三棱锥E－BCD的体积为，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出长方体和三棱锥E－BCD的体积，即可求出答案.
【详解】由题意，，
，
则.
故选D.
【点睛】本题考查了长方体与三棱锥的体积的计算，考查了学生的计算能力，属于基础题.
11.若三棱锥中，，，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将棱锥补成长方体，根据长方体的外接球的求解方法法得到结果.
【详解】根据题意得到棱锥的三条侧棱两两垂直，可以以三条侧棱为长方体的楞，该三棱锥补成长方体，两者的外接球是同一个，外接球的球心是长方体的体对角线的中点处。设球的半径为 R，则
表面积为
故答案为：B.
【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
12.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先得到几何体的立体图形，再计算表面积.
【详解】
故答案选A
【点睛】本题考查了几何体的三视图，将三视图还原为立体图是解题的关键.
13.已知点满足，目标函数仅在点处取得最小值，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的可行域，分两类讨论即可.
【详解】不等式组对应的可行域如图所示：其中
若，因目标函数仅在点处取得最小值，
所以动直线的斜率，故.
若，因目标函数仅在点处取得最小值，
所以动直线的斜率，故.
综上，，选B.
【点睛】二元一次不等式组条件下二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍 ，而则表示动点与的连线的斜率．含参数的目标函数的最值问题，注意根据斜率分类讨论.
14.已知α∈（），若sin2α，则cosα＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据三角函数的值，缩小的范围，根据和得到和
【详解】，
而 即
，两式相加、相减得
，解得
故选D项.
【点睛】本题考查通过三角函数值的正负缩小角的范围，对三角函数求值，属于中档题.
15.已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系利用设参数用三角函数求解最值即可．
【详解】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其中A（，），B（1，0），C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ
有（λ，μ∈R）即：（cosθ，sinθ）＝λ（，）+μ（1，0）；
整理得：λ+μ＝cosθ；λ＝sinθ，解得：λ，μ＝cosθ，
则λ+μcosθsinθ+cosθ＝2sin（θ），其中；
易得其值域为[1，2]
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的线性运算，三角函数求值域等知识，属于中档题．
16.已知函数，，若对，且，使得，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对∀x∈（0，e），f（x）的值域为[，5），g′（x）＝a，推导出a＞0，g（x）min＝g（）＝1+lna，作出函数g（x）在（0，e）上的大致图象，数形结合由求出实数a的取值范围．
【详解】当时，函数的值域为.由可知：当时，，与题意不符，故.令，得，则，所以，作出函数在上的大致图象如图所示，
观察可知，解得.
故选：B
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
第II卷非选择题部分
二、填空题（每小题5分）
17.设，向量，，若，则__________．
【答案】
【解析】
从题设可得，即，应填答案。
18.已知数列满足，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
【详解】因所以
又
所以数列为以 为首项，1为公差的等差数列。
所以
所以
故填
【点睛】本题考查等差数列，属于基础题。
19.已知函数在点处的切线平行于直线，则点的横坐标为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出导函数，由切线斜率就是切点处导数求出切点横坐标．
【详解】由题意，
，，
时，，点在直线上，不合题意；
时，，切线方程为，即符合题意．
故答案－1．
【点睛】本题考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数为函数图象在该点处的切线斜率．
20.已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【详解】当时，，得，
当时，，
又，
两式相减得，得，
所以．
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即．
因为，所以不等式，等价于．
记，
时，．
所以时，．
所以，所以整数的最大值为4．
考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．
三、解答题
21.已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域。
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
（1）利用降幂公式、辅助角公式，对进行化简，得到正弦型函数，然后求其单调区间.
（2）根据（1）中求出的正弦型函数，求出在区间的值域.
【详解】（1）
单调递增 ，
解得：，
所以单调递增区间为
（2）由（1）知
因为，所以
所以
【点睛】本题考查通过公式的运用对三角函数进行化简，以及正弦型函数的单调区间和值域，属于简单题.
22.已知数列为递增的等差数列，其中，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设记数列的前n项和为，求使得成立的m的最小正整数．
【答案】（1）；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，设出首项和公差，依照题意列两个方程，即可求出的通项公式；
（2）由，容易想到裂项相消法求的前n项和为，然后，恒成立问题最值法求出m的最小正整数．
【详解】（1）在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意，得，
解得．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）由（1）知，an＝2n﹣1．
则＝，
∴Tn＝＝．
∵Tn+1﹣Tn＝＝＞0，
∴{Tn}单调递增，而，
∴要使成立，则，得m，
又m∈Z，则使得成立的m的最小正整数为2．
【点睛】本题主要考查等差、等比数列的基本性质和定义，待定系数法求通项公式，裂项相消求数列的前n项和，以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用知识的能力。
23.如图，在四边形中，，，.
（1）若，求的面积；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．
（2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得从而，在中，由正弦定理得，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果.
【详解】（1）因为，，，
所以，即，
所以.
所以.
（2）设，，则，
在中，由正弦定理得：，
所以；
中，，所以.
即，化简得：，
所以，
所以，，
所以在中，.
即，解得或（舍）.
【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
24.已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.
【答案】（I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.
【详解】（Ⅰ）的定义域为.
.
（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；
（2）当时，由解得，由解得.
∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.
（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，
∴恒成立，符合题意.
②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.
（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，且.
而当时，
且成立.
∴符合题意.
（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需即可，
此时成立，
∴符合题意.
（iii）若，在上单调递增.
∴对任意的实数，恒成立，只需，
即，
∴符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在
上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.