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- 2021-04-17 发布
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2019学年学军高一上期中
一、选择题：每小题4分，共40分
1.设集合，，则集合中的元素共有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合并集运算和互异性，得到结果.
【详解】因为集合，，
所以，共有6个元素，
故选：.
【点睛】本题考查集合的并集运算和集合的互异性，属于简单题.
2.函数的定义域是 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
要使函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故选A.
点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.
3.下列函数中与具有相同图象的一个函数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
对于A，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于B，
与函数的对应关系不同，值域不同，所以函数图象不同；对于C，与函数的定义域不同，所以函数图像不同；对于D，与函数的定义域相同，对应关系也相同，所以函数图象相同，故选D.
点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.
4.已知函数，则的值等于（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将代入函数第二段表达式，得到，再代入第二段表达式后得到，此时代入第一段就可以求得函数值.
【详解】依题意，故选D.
【点睛】本小题主要考查分段函数求值.第一次代入后，还是无法求得函数值，要继续再代入两次才可以.属于基础题.
5.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，若，则在上单调递减，
又由函数开口向下，其图象的对称轴在轴左侧，排除C，D.
若，则在上是增函数，
函数图象开口向上，且对称轴在轴右侧，
因此B项不正确，只有选项A满足.
【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先得到函数的定义域，然后根据复合函数单调性，求出内层函数的单调递增区间，从而得到答案.
【详解】函数，
所以，解得或，
所以定义域为
又因函数是复合函数，
其外层函数为增函数，
所以要使为增函数，则内层是增函数，
则
所以可得单调增区间为
故选：.
【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，属于简单题.
7.函数的奇偶性为（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出的定义域，然后对进行化简，再判断与的关系，从而得到答案.
【详解】函数，
所以有，解得，
所以定义域为
此时恒成立，
所以，
，
所以是偶函数，
故选：
【点睛】本题考查求函数的定义域，判断函数的奇偶性，属于简单题.
8.定义在R上的函数满足,,则
等于( ).
A. 3 B. 8 C. 9 D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用赋值法，依次求得的值，进而求得的值.
【详解】依题意
令，则，得.
令，则，得.
令，则，得.
令，则，得.
故选：A.
【点睛】本小题主要考查根据抽象函数关系式求函数值，属于基础题.
9.已知是定义域为的奇函数,满足若,则 ( ).
A. 2 B. 0 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，判断函数是周期为的周期函数，根据周期性和奇偶性，求得所求表达式的值.
【详解】由于，所以函数图像关于直线对称，由于函数为奇函数故函数关于原点对称，故函数是周期为的周期函数.由，，得， ，
，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，考查函数的周期性，属于基础题.
10.设函数f（x）=，若对任意给定的m∈（1，+∞），都存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，则正实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先画出函数f（x）图像，记t=f（x0），存在唯一的x0，所以必有t＞1，所以f（t）=2a2m2+am＞1对任意给定的m∈（1，+∞）恒成立，因式分解得（ma+1）（2ma－1）＞0，因为ma+1＞0，所以2ma－1＞0恒成立，代入m=1即可.
【详解】解：作出函数f（x）的图象如图：由图象知当x＞0时，f（x）=log2x的值域为R，
当－1≤x≤0，f（x）的取值范围为[0，1]，
当x＜－1时，f（x）的取值范围是（－∞，1），
即由图象知当f（x）≤1时，x的值不唯一，设t=f（x0），
当x＞0时，由f（x）=log2x≥1得x≥2，则方程f（f（x0））=2a2m2+am，
等价为f（t）=2a2m2+am，
因为2a2m2+am＞0
所以若存在唯一的x0∈R满足f（f（x0））=2a2m2+am，
则t＞1，即由f（x）=log2x＞1得x＞2，
即当x＞2时，f（f（x））与x存在一一对应的关系，则此时必有f（f（x））＞1，
即2a2m2+am＞1，得（ma+1）（2ma－1）＞0，
因为ma+1＞0，
所以不等式等价为2ma－1＞0，设h（m）=2ma－1，
因为m＞1，a＞0，
所以只要h（1）≥0即可，得2a－1≥0，得a≥，
即实数a的取值范围是[，+∞）．
故选：A．
【点睛】本题考查了复合函数与分段函数，函数的恒成立与能成立，综合性较强，分段函数常借助函数图像进行处理，复合函数一般采用换元法.
二、填空题：每题4分，共28分
11.设集合，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的补集运算，得到，再由交集运算，得到答案.
【详解】因为集合，
所以，
因为集合，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题.
12.函数（且）的图象恒过定点____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数的平移，得到，从而得到其图象恒过的点，得到答案.
【详解】将指数函数向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
得到，
而指数函数恒过点
所以函数恒过点
【点睛】本题考查指数函数平移后过定点问题，属于简单题.
13.已知实数满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由得，再平方化简后，得到答案.
【详解】因为实数满足，
则，即
两边平方，得
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据已知方程求值，指数基本运算，属于简单题.
14.函数的值域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将函数进行化简，得到，分别对和，利用基本不等式，得到答案.
【详解】函数
，
当，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的值域为，
故答案为：.
【点睛】本题考查求具体函数的值域，属于简单题.
15.函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.
【详解】函数，
所以真数位置上的在上恒成立，
由一次函数保号性可知，，
当时，外层函数为减函数，
要使为减函数，则为增函数，
所以，即，所以，
当时，外层函数为增函数，
要使为减函数，则为减函数，
所以，即，所以，
综上可得的范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.
16.已知函数，，若，对任意的，总存在，使得，则b的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先分别求出和在上的值域，再根据任意的，总存在，使得，得到它们值域的关系，从而得到关于的不等式，得到答案.
【详解】函数在上单调递增，
所以的值域为集合，
函数，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，
所以的值域为集合
因为任意的，总存在，使得，
所以可得，
所以，解得
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数单调性求函数的值域，通过量词求参数的范围，属于中档题.
17.定义在上的函数满足，，，且当时，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，，可得，根据得，反复套用后得到，再由时，，得到，所以，从而得到答案.
【详解】因为定义在上函数满足，
令，得，令，得，
又因，
所以，，，
，
而，，，，
又因为满足当时，，
所以根据，有
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查抽象函数的性质，求抽象函数的函数值，属于中档题.
三、解答题：5小题，共74分
18.求值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）根据指数运算的规则，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案；（2）根据对数运算的规则，对式子进行整理化简后，再进行计算，得到答案.
【详解】（1）
；
（2）
【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属于简单题.
19.已知集合，，若，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
由，得到，从而分为和两种情况进行讨论，分别得到关于的不等式，求出的范围，得到答案.
【详解】因为，所以得到，
当时，，解得
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于简单题.
20.已知满足
(1)求的取值范围；
(2)求函数的值域．
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数的单调性解不等式；（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间的位置关系确定最值，得到值域.
试题解析：
(1) ∵，
，
由于指数函数在上单调递增，
.
(2) 由（1）得，
.
令，则，其中.
∵函数的图象开口向上，且对称轴为 ，
函数在上单调递增，
当时，取得最大值，为；当时，取得最小值，为.
函数的值域为.
21.已知函数．
（1）若函数在上有最大值，求实数的值；
（2）若方程在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）令，则函数，然后根据对称轴与区间中点的大小进行分类，分别得到相应的的值，得到答案；（2）令，则函数，令，再进行参变分离，得到，再根据的值域，得到的范围，从而得到答案.
【详解】（1）因为，所以令，
所以得到函数，开口向上，对称轴为，
当时，则在时，取最大值，即，
所以，解得，不满足，所以舍去，
当时，则时，取最大值，即，
所以，解得，满足，
综上，的值为.
（2）因，所以令，
所以得到函数
令，得，即，
所以要使有解，
则函数与函数有交点，
而函数，在上单调递减，在上单调递增，
故在时，有，在时，有，
所以可得，
所以的范围为.
【点睛】本题考查动轴定区间方法解决由二次函数最值求参数的值，函数与方程的方法解决方程有解的问题，属于中档题.
22.已知是定义在[-1,1]上的奇函数，且，若任意的，当时，总有．
（1）判断函数在[-1,1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式：；
（3）若对所有的恒成立，其中（是常数），求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）任取x1、x2两数使x1、x2∈[-1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）-f
（x2）=f（x1）+f（-x2），让f（x1）+f（-x2）除以x1-x2再乘以x1-x2配出形式，然后进而判定。
（2）根据函数f（x）在[-1，1]上是增函数知x满足的不等式组，进而可解得x的范围
（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，只需成立，即成立．对p讨论得到。
【详解】（1）在上是增函数，证明如下：
任取，且，则，于是有，
而，故，故在上是增函数
（2）由在上是增函数知：
，
故不等式的解集为．
（3）由（1）知最大值为，所以要使对所有的恒成立，
只需成立，即成立．
① 当时，的取值范围为；
②当时，的取值范围为；
③当时，的取值范围为R．