专题8-2+空间几何体的表面积与体积（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 21页

2018 年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第八章 立体几何 第 02 节 空间几何体的表面积与体积 【考纲解读】 考 点 考纲内容 5 年统计 分析预测 空 间 几 何 体 的 表 面 积 与 体 积 了解球、棱柱、棱锥、台的 表面积和体积的计算公式 （不要求记忆公式）. 2013•新课标 I. 15; 2014•新课标 II.6,18; 2015•新课标 I.6,11;II.6,9; 2016•新课标 I.6;II.6;III.9,10; 2017•新课标 I.7,16;II.4；III.8， 19. 1.以结合三视图、几何体 的结构特征考查几何体的 面积体积计算为主，题型 基本稳定为选择题或填空 题，难度中等以下；也有 几何体的面积或体积在解 答题中与平行关系、垂直 关系等相结合考查的情况. 2.与立体几何相关的“数 学文化”等相结合，考查 数学应用. 3.备考重点： (1) 掌握三视图与直观 图的相互转换方法是关键； (2)掌握等积转换的方法. 【知识清单】 1． 几何体的表面积 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 rlS π2= )(2 lrrS += π rlS π= 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面 积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面 展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 对点练习： 【2018 届四川省成都市龙泉第二中学高三 10 月月考】已知 是球 球面上的四 点， 是正三角形，三棱锥 的体积为 ，且 ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 )( lrrS += π lrrS )( +′= π )( 22 rllrrrS +′++′= π 24 RS π= , , ,P A B C O ABC∆ P ABC− 9 3 4 30APO BPO CPO∠ = ∠ = ∠ =  O 4π 12π 16π 32 3 π 2.几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 对点练习： 【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三 视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． hrV 2π= hrV 2 3 1π= )(3 1 22 rrrrhV ′++′= π 3 3 4 RV π= 3aV = abcV = 90π 63π 42π 36π 【答案】B 【解析】 【考点深度剖析】 几何体的表面积与体积与三视图结合是主要命题形式，一般都是容易题.有时作为解答题 的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转 化思想． 【重点难点突破】 考点 1 几何体的表面积 【1-1】【2016 高考新课标 2 理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几 何体的表面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为 ，圆锥的侧面积为 ，圆柱的底面面积为 ，故该几何体的表面积为 ，故选 C. 【1-2】三棱锥 中， 平面 ， ， 是边长为 的正三角 形，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【1-3】【2016 高考新课标 3 理数】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某 多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） G O C A B S 20π 24π 28π 32π 1 2 2 4 16S π π= ⋅ ⋅ = 2 1 2 2 4 82S π π= ⋅ ⋅ ⋅ = 2 3 2 4S π π= ⋅ = 1 2 3 28S S S S π= + + = ABCS − ⊥SB ABC 5=SB ABC∆ 3 ABCS − π3 π5 π9 π12 （A） （B） （C）90 （D）81 【答案】B 【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积 ，故选 B． 【领悟技法】 以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视 图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系． 多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面 积是侧面积与底面圆的面积之和． 【触类旁通】 【变式 1】【2018 届河南省洛阳市高三期中】在三棱锥 中，底面 是直角三角 形，其斜边 ， 平面 ，且 ，则三棱锥的外接球的表面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图： 18 36 5+ 54 18 5+ 2 3 6 2 3 3 2 3 3 5 54 18 5S = × × + × × + × × = + S ABC− ABC∆ 4AB = SC ⊥ ABC 3SC = 25π 20π 16π 13π 则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于 ，且 是直角三角 形， 平面 ， 长方体的对角线长为 ， 三棱锥的外接球的半径 ， 三棱锥的外接球的表面积为 ，故选 A. 【变式 2】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【变式 3】已知矩形 ABCD 的面积为 8，当矩形 ABCD 周长最小时，沿对角线 AC 把△ACD 折 4 3AB SC= =， ABC∆ SC ⊥ ABC ∴ 2 2 2 2 2 2 24 3 5AC BC SC AB SC+ + = + = + = ∴ 5 2R = ∴ 254 254 π π× = 3 2 π 3π + 5 32 π + 3 32 π + 起，则三棱锥外接球表面积等于(　　) A．8π　 B．16π C．48 2π　 D．50π 【答案】 【解析】设矩形长为 x，则宽为 8 x(x>0)， 周长 P＝2 ≥2·2 x· 8 x＝8 2. 当且仅当 x＝ 8 x， 即 x＝2 2时，周长取到最小值． 此时正方形 ABCD 沿 AC 折起，取 AC 的中点为 O，则 OA＝OB＝OC＝OD， 三棱锥 D－ABC 的四个顶点都在以 O 为球心，以 2 为半径的球上，此球的表面积为 4π·22＝ 16π. 综合点评： 计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲 为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 考点 2 几何体的体积 【2-1】【2017 浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单 位：cm3）是 )8( xx + A． B． C． D． 【答案】A 【2-2】【2017 山东，理 13】由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如右图， 则该几何体的体积为 . 【答案】 【2-3】【广东省广州市普通高中毕业班综合测试一】一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如 图所示，则这个四棱锥的体积是 . 1 4 2 2 π+ 12 +π 32 +π 12 3 +π 32 3 +π 【答案】 . 【领悟技法】 (1)已知几何体的三视图求其体积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题 目所给数据与几何体的表体积公式求其体积.(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得 出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 【触类旁通】 【变式 1】【2016 高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则 该几何体的体积为（ ） 图3 俯视图 侧（左）视图正（主）视图 4 5 1122 4 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】由三视图可知,上面是半径为 的半球,体积为 ,下 面是底面积为 1,高为 1 的四棱锥,体积 ,故选 C. 【变式 2】【2017 届广东省广州高三一模】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与 底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三棱锥 的四 个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）． 1 2 3 3 + π 1 2 3 3 + π 1 2 3 6 + π 21 6 + π 2 2 3 1 1 4 2 2 2 3 2 6V ππ  = × × =    2 1 11 13 3V = × × = P ABC− PA ⊥ ABC 2PA PB= = 4AC = P ABC− O O A. B. C. D. 【答案】C 【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥 ，如下图所示， 其外接球的直径为对角线 ， ，所以， ，球的表面 积为： ．选 C. 综合点评：求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转 化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积 法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以 用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法 回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值. 考点 3 几何体的展开、折叠、切、截问题 【3-1】【2017 课标 3，理 8】已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个 球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D． 【答案】B 8π 12π 20π 24π P ABC− PC 2 2 2 5PC PA AC= + = 5R = 20π π 3π 4 π 2 π 4 【3-2】【2018 届河南省漯河市高级中学高三上第二次模拟】四面体퐴퐵퐶퐷的四个顶点都在球 푂的表面上，퐴퐵 = 2，퐵퐶 = 퐶퐷 = 1，∠퐵퐶퐷 = 60∘，퐴퐵 ⊥ 平面퐵퐶퐷，则球푂的表面积为 （ ） A. 8휋 B. 8 2 3 휋 C. 8 3 3 휋 D. 16휋 3 【答案】D 【解析】如图， ∵BC=CD=1，∠BCD=60°∴底面△BCD 为等边三角形，取 CD 中点为 E，连接 BE，∴△BCD 的 外心 G 在 BE 上，设为 G，取 BC 中点 F，连接 GF，在 Rt△BCE 中，由퐶퐸 = 1 2，∠퐶퐵퐸 = 30표 ， 得퐵퐹 = 1 2퐵퐶 = 1 2，又在 Rt△BFG 中，得 BG= 1 2 푐표푠30표 = 3 3 ，过 G 作 AB 的平行线与 AB 的中垂线 HO 交于 O，则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心，即 R=OB， ∵AB⊥平面 BCD，∴OG⊥BG，在 Rt△BGO 中，求得 OB= 푂퐺2 + 퐵퐺2 = 2 3 3 ， ∴球 O 的表面积为 4π(2 3 3 )2 = 16휋 3 故选 D 【3-3】【2018 届福建省数学基地校】已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相 切，若这个球的体积是 ，则这个三棱柱的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 得 .∴正三棱柱的高 .设其底面边长为 ， 则 .∴ .∴ ,选 D. 【3-4】【2018 届河南省林州市第一中学高三 8 月调研】如图，已知矩形 中， ，现沿 折起，使得平面 平面 ，连接 ，得到三棱锥 ，则其外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 32 3 π 48 24 6 24 3 48 3 34 32R3 3 π π= 2R = 4h = a 1 3 23 2 a× = 4 3a = ( )23 4 3 4 48 34V = × = ABCD 4 83AB BC= = AC ABC ⊥ ADC BD B ACD− 500 9 π 250 3 π 1000 3 π 500 3 π 【领悟技法】 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数 量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及 体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的． 有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间 的位置和数量关系，哪些变，哪些不变． 研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间 的最短距离问题． 【触类旁通】 【变式 1】【湖南卷】一块石材表示的几何体的三视图如图 2 所示，将石材切削、打磨、加工 成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【变式 2】正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则 该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因底面边长为 ,故底面中心到顶点的距离是 ,即球的截面圆的半径为 ,所以 ,其表面积为 ,故应选 B. 【变式 3】【2018 届河北省衡水市武邑中学高三上第三次调研】在《九章算术》中,将四个面 都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑 中, 平面 , ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____． 【答案】 【解析】由题意，MC 为球 O 的直径，MC=2 ，∴球 O 的半径为 ， ∴球 O 的表面积为 4π•3=12π，内切球的半径设为ｒ， 得到 内切球的体积为 ，故结果为 . 【变式 4】【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等 边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA， AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA， △FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： 3 4π 8π 12π 16π 3 1 1 211 =+=R ππ 824 =×=S M ABC− MA ⊥ ABC 2MA AB BC= = = 24 8 2π π− 3 3 ( )1 1* 2 2 2 2 2 2 * *2*23 3r+ + + = 2 1r = − 12 8 2π π− 24 8 2π π− cm3）的最大值为_______. 【答案】 【解析】 4 15 【易错试题常警惕】 易错典例：有一棱长为 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持 为球的形状），则气球表面积的最大值为__________. 错解：依题意，球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为 ，球的表面积为 . 错因：这里学生未能弄清正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应 为 . 正解：正方体骨架是一个空架子，球最大时与正方体的各棱相切，直径应为 . 所以气球表面积的最大值为 . 温馨提醒： 1.台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行. 2.同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同. 3.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示 出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线. 4.对于求解简单的组合体的表面积，要注意各几何体重叠部分的处理. 【学科素养提升之思想方法篇】 a a 2aπ 2a 2a 2 224 ( ) 22 a aπ π⋅ = 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用 大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手 段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和 规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确 地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图 形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析 和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特 征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合 理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范 围. 在解答几何体体积、表面积计算问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量 关系，进行准确的计算．如： 【典例】已知 中， ，将 沿 折起，使 变到 ，使平面 平面 ． （1）试在线段 上确定一点 ，使 平面 ； （2）试求三棱锥 的外接球的半径与三棱锥 的表面积． 【答案】（1） 点为 的靠近 点的三等分点（2） 【解析】 Rt ABC∆ 03, 4, 90 , 2 , 2AB BC ABC AE EB AF FC= = ∠ = = = AEF∆ EF A A′ A EF′ ⊥ EFCB A C′ H / /FH A BE′ A EBC′− A EBC′− H A C′ C 3 17 2 5+ + 试题解析：（1） ∵ ， ∴ ，在 上取点 ，使 ，连接 ，再在 上取点 ， 使 ，连接 ，可知， ，且 ，可知 ，且 ，所以四边形 为平行四边形， 平面 ，∴ 平 面 ，故 点为 的靠近 点的三等分点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2）由（1）可知， ， 设三棱锥 的外接球半径为 ，可知 ， ，∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分 三棱锥 的表面积为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 03, 4, 90 ,AE 2EB,AF 2FCAB BC ABC= = ∠ = = = 2 8 3 3EF BC= = A C′ H 2A H HC′ = HF A B′ K 2A K KB′ = ,HK EK / /KH BC 2 3KH BC= / /KH EF KH EF= EFHK / / EK,EKFH ⊂ A EB′ / /FH A EB′ H A C′ C 2 2 2 24, 1, 2, 2 1 3BC EB A E A B A E BE′ ′ ′= = = = − = − = A EBC′− R ( )2 2 2 22R A E BE BC′= + + ( )2 22 4 1 4 21R = + + = 21 2R = A EBC′− 1 1 1 1 14 5 1 2 4 1 2 17 3 17 2 52 2 2 2A BC A BE BEC A ECS S S S S′ ′ ′∆ ∆ ∆ ∆= + + + = × × + × × + × × + × × = + +