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- 2021-04-17 发布
高二数学试卷（文）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
4.满分150分，考试用时120分钟。
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则“”是“函数的图象恒在轴上方”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分又不必要条件
4．已知命题对，，成立，则在上为增函数；命题，，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下：
0
1
2
3
4
2.2
4.3
4.8
6.7
且回归方程是，则（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
6．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）.若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（ ）
A．ρ＝sinθ B．ρ＝2sinθ C．ρ＝cosθ D．ρ＝2cosθ
8．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为
A． B． C． D．
9．春节过后，甲、乙、丙三人谈论到有关部电影，，的情况.
甲说：我没有看过电影，但是有部电影我们三个都看过；
乙说：三部电影中有部电影我们三人中只有一人看过；
丙说：我和甲看的电影有部相同，有部不同.
假如他们都说的是真话，则由此可判断三部电影中乙看过的部数是（ ）
A．部 B．部 C．部 D．部或部
10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
12．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．直线（为参数）的倾斜角为_________
14．求曲线在点处的切线方程是________.
15．已知函数，，若任意，存在，使，则实数的取值范围是__________．
16．椭圆的右焦点为，直线与相交于、两点.若，则椭圆的离心率为______.
三、解答题（共70分，17题10分，其余每题12分）
17．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点P在直线l上.
（1）求的值及直线l的直角坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为.若与交于两点，求的值.
18．为了调查某大学学生的某天上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟）
人数
表2：女生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟）
人数
（1）用分层抽样在选取人，再随机抽取人，求抽取的人都是女生的概率；
（2）完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？
上网时间少于分钟
上网时间不少于分钟
合计
男生
女生
合计
附：
19．已知一动圆与圆：外切，且与圆：内切.
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）过点能否作一条直线与交于，两点，且点是线段的中点，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.
20．已知函数.
(1)求曲线在点(0，)处的切线方程；
(2)证明:对x∈(0，+∞)恒成立.
21．已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于两点，是否存在实数使得以线段
22．已知函数，，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】由题可知：
由，所以
所以
2．B
【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，
命题“”的否定是，
3．D
【详解】当时，
函数图象与轴没有交点，
当时，图像恒在轴下方，所以是不充分条件；
当函数的图象恒在轴上方，
取，满足要求，此时，
因此不一定能得到，所以是不必要条件；
4．B
【详解】命题当时,因为故；当时,因为故；故随的增大而增大.故命题为真.
命题,因为.故命题为假命题.
故为真命题.
5．C
【解析】 由题意得，根据表中的数据，
可知，且，
所以，解得，故选C.
6．C
【详解】执行如图所示的程序框图如下：
不成立，，；
不成立，，；
不成立，，；
不成立，，.
成立，跳出循环体，输出的值为，故选C.
7．D【解析】
由（为参数）得曲线普通方程为，
又由，可得曲线的极坐标方程为，故选D．
8．B
【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,
如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,
设,则,解得,将 代入可得,
所以△的面积为=.
.
9．B
【详解】由甲丙的描述可知,丙和甲看的电影有部相同,有部不同,且甲没有看过电影,故甲看过两部电影,即A,C.
又丙和甲看的电影有部相同,有部不同,故丙必看过电影.因为题中没有给出关于A,C的特殊描述,故可设丙看过电影A,.
又甲说有部电影我们三个都看过,故则此为A.即乙必看过A.
又三部电影中有部电影三人中只有一人看过；故乙必看过B,C其中一部.
故乙看过2部.
10．B
【详解】由题意得：
在上单调递增 在上恒成立
又 在上恒成立
当时，
，解得：
11．A
【详解】由题意知，，
解得，，
直线与平行，则，得，
，
化简得，即，解得.
12．B
【解析】不等式得，
所以在R上是减函数，因为.
13．
详解：直线的普通方程为：y-2=（x-1）cot70°，直线的斜率为：cot70°=tan20°．
所以直线的倾斜角为：20°．
故答案为：20°．
14．
【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，即所求切线方程为，即.
15．
【详解】解：∵，，
，
∴在上单调递增，
；
根据题意可知存在，使得
.
即能成立，
令，则要使在能成立，
只需使，
又在上恒成立
则函数在上单调递减，
，
，
即实数的取值范围是.
16．
【详解】设，，即，，则，即①，又，②，
由①②得，即，或（舍去），解得.
17．（1）a＝，l的直角坐标方程为x＋y－2＝0（2）
解析：（1）由点P在直线ρcos＝a上，可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
（2）由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，
曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为
把曲线的参数方程为（为参数），代入得，
设，是对应的参数，则，
所以
18．（1）；（2）详见解析.
【详解】（1）用分层抽样在[30，40）选取6人，男生有2人记为A、B，女生有4人，记为c、d、e、f；
再从这6人中随机抽取2人，基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种；
抽取的2人都是女生的事件为cd、ce、cf、de、df、ef共6种，
故所求的概率为 ；
（2）填写2×2列联表如下，
上网时间少于分钟
上网时间不少于分钟
合计
男生
女生
合计
，
.
没有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.
19．(1) (2) 存在，
【详解】（1）设动圆圆心，半径为，
根据题意得：，所以，
则动点轨迹为双曲线（右支），所以，，，
所以轨迹方程为.
（2）设，代入双曲线的方程得
两式相减得，
因为是线段的中点，所以
所以，所以的方程为.
20．【详解】
解：（1），所以切线的斜率，又因为,所以曲线在点 处的切线方程为。
（2）令，当时，，所以，又，所以，
当时，，，
所以，综上所述，命题得证。
21．【详解】
(1)因为椭圆的长轴长为4，所以，所以，
又，所以，所以，
所以椭圆的方程为．
(2)存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．
证明：设，，
由，得，
因为直线与椭圆交于两点，
所以，所以或，
所以，，
所以
因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，所以，
所以，即，
所以，解得，
所以存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．
22．（1）见解析；（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，
.
当时，令，可得或.
①当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为；
②当时，即当时，令，得或；令，得.
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③当时，即当时，
令，得或；令，得.
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由题意，可得，可得，其中.
构造函数，，则.
，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在或处取得最小值，
，，则，，.
因此，实数的取值范围是.