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- 2021-04-17 发布
2016-2017学年河北省邯郸市广平一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=
2．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，±2） D．（1，±2）
3．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（ ）
A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
4．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
6．双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
7．已知x、y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．不等式的解集是（ ）
A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}
9．设焦点在x轴上的椭圆的离心率为e，且，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，3） B． C． D．（0，2）
10．曲线y=在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（ ）
A．1 B． C． D．﹣
11．经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（ ）
A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1
12．设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆+x2=1（a＞0）的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则a= ．
14．已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于4，点P在x轴的上方，求点P的坐标 ．
15．若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为 ．
16．曲线y=x2+ex在（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 ．
三、解答题（17题10分，18题10分，19至20题每题12分，21至22每题13分共70分）
17．已知a＞0，b＞0，且．
（1）求ab的最小值；
（2）求a+2b的最小值，并求出a，b相应的取值．
18．求下列函数的导数
（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）
（2）．
19．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2asinB=b．
（1）求角A；
（2）若b=1，a=，求S△ABC．
20．已知数列{an}，其前n项和为
（Ⅰ）求a1，a2，a3；
（Ⅱ）求{an}的通项公式an．
21．已知抛物线的标准方程是y2=6x，
（1）求它的焦点坐标和准线方程，
（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．
2016-2017学年河北省邯郸市广平一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）
1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（ ）
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C．
2．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，±2） D．（1，±2）
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线y2=4x的准线方程，利用抛物线的定义，可求A点的横坐标，即可得出A的坐标．
【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，F（1，0）．
设A（x，y），
∵|AF|=3，
∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，
∴x=2，
∴y=，
∴A的坐标为（2，）．
故选：C，
3．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（ ）
A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0
C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0
【考点】命题的否定．
【分析】由全称命题的否定是特称命题，写出命题p的否定¬p来．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；
命题p的否定是¬p：
∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0．
故选：C．
4．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若a=﹣4，b=1，满足a+b≤2，但a≤1且b≤1不成立，即充分性不成立，
若a≤1且b≤1，则a+b≤2成立，即必要性不成立，
故“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的必要不充分条件，
故选：B．
5．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．
【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．
对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．
∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），
故选：B．
6．双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】令﹣=0，可得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：令﹣=0，可得y=±x，即双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x
故选C．
7．已知x、y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．
【解答】解：画出可行域（如下图），由z=x﹣y可得y=x﹣z
则﹣z为直线y=x﹣z在y轴上的截距，截距越小，z越大
由图可知，当直线l经过点C（2，0）时，
z最大，且最大值为zmax=2
故选C
8．不等式的解集是（ ）
A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．
【解答】解：不等式，
移项得：，即≤0，
可化为：或
解得：≤x＜2，
则原不等式的解集为：≤x＜2
故选B．
9．设焦点在x轴上的椭圆的离心率为e，且，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，3） B． C． D．（0，2）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】焦点在x轴上的椭圆中a2=4，b2=k，4＞k＞0，e2=⇒k的范围，
【解答】解：焦点在x轴上的椭圆中a2=4，b2=k，4＞k＞0，
e2=⇒0＜k＜3
则实数k的取值范围（0，3），
故选：A．
10．曲线y=在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（ ）
A．1 B． C． D．﹣
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角．
【解答】解：y'=x
∴当x=1时，y'=1，得切线的斜率为1，所以k=1，
设切线的倾斜角为α，0≤α＜π
∴tanα=1，
∴α=，
故选B．
11．经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（ ）
A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，），即可得出结论．
【解答】解：设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0）
∵渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，
∴=1，
∴n=2m，∴渐近线方程为x±2y=0
∴双曲线方程设为x2﹣8y2=λ，
代入点（1，），可得λ=1﹣2=﹣1，
∴双曲线方程为8y2﹣x2=1．
故选：C．
12．设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则p=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．
【解答】解：∵OD⊥AB，∴kOD•kAB=﹣1．
又kOD=3，∴kAB=﹣，
∴直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），
即为y=﹣+，
设A（x1，x2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，
又x1x2+y1y2=x1x2+（﹣x1+）（﹣x2+）
=x1x2﹣（x1+x2）+，
联立直线方程和抛物线方程，消y可得x2﹣（+2p）x+=0①
∴x1+x2=20+18p，x1x2=100，
∴x1x2+y1y2=×100﹣×（20+18p）+=0，
∴p=5，
当p=5时，方程①成为x2﹣110x+100=0显然此方程有解．
∴p=5成立．
故选：D．
二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）
13．已知椭圆+x2=1（a＞0）的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则a= 2 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意与椭圆方程得到椭圆的长半轴长和短半轴长，再由长轴长是短轴长的两倍，列式求得a的值．
【解答】解：∵椭圆+x2=1（a＞0）的焦点在y轴上，∴a＞1，
∵椭圆的长半轴长为a，短半轴长为1，长轴长是短轴长的两倍，得a=2．
故答案为：2．
14．已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于4，点P在x轴的上方，求点P的坐标 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意可知：c=4，|F1F2|=2c=8，设P（x0，y0），y0＞0，则三角形PF1F2的面积S=|F1F2|•|y0|=•8•|y0|=4|y0|=4，求得y0=1，代入即可求得x0，即可求得点P的坐标．
【解答】解：椭圆，a=5，b=3，则c=4，|F1F2|=2c=8，
由点P在x轴的上方，设P（x0，y0），y0＞0，则三角形PF1F2的面积S=|F1F2|•|y0|=•8•|y0|=4|y0|=4，
∴|y0|=1，y0=1，
y0=1时， +=1，解得：x0=±，
∴P（±，1），
故答案为：．
15．若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为 2 ．
【考点】等比数列的性质．
【分析】先根据数列的第一项和第五项的值，求得公比q，进而通过等比数列的通项公式求得第三项b．
【解答】解：依题意可知a1=1，a5=4
∴=q4=4
∴q2=2
∴b=a1q2=2
故答案为2
16．曲线y=x2+ex在（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．
【解答】解：依题意得y′=2x+ex，
因此曲线y=x2+ex在（0，1）处的切线的斜率等于1，
相应的切线方程是y=x+1，
当x=0时，y=1，y=0时，x=﹣1，
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：
S==．
故答案为．
三、解答题（17题10分，18题10分，19至20题每题12分，21至22每题13分共70分）
17．已知a＞0，b＞0，且．
（1）求ab的最小值；
（2）求a+2b的最小值，并求出a，b相应的取值．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．
【分析】（1）根据题意，由基本不等式的性质可得2=（+）≥2，将其化简变形可得ab≥1，即可得答案；
（2）根据题意，a+2b=（a+2b）（+），进而变形可得（a+2b）（+）=（5++），由基本不等式的性质计算可得答案．
【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，且．
可得2=（+）≥2，变形可得ab≥1，
当且仅当b=a=1时取得等号，
则ab的最小值为1；
（2）a+2b=（a+2b）（+）=（3++）≥（3+2）=；
等号成立的充要条件是a=b，
∴a+2b的最小值为；此时a=b．
18．求下列函数的导数
（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）
（2）．
【考点】导数的运算．
【分析】根据函数的导数公式分别进行计算即可．
【解答】解：（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，
则y′=3x2+12x+11．
（2）．
19．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2asinB=b．
（1）求角A；
（2）若b=1，a=，求S△ABC．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）根据已知和正弦定理，确定出sinA的值，进而确定角A的大小．
（2）根据正弦定理，可求sinB，进而确定B的大小，再根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：（1）由2asinB=b，
可得，
∴sinA=，
∵A为锐角，
∴A=60°．
（2）∵b=1，a=，A=60°，
∴由，可得：，解得：sinB=，
∴在锐角△ABC中，B=30°，C=180°﹣A﹣B=90°，
∴S△ABC=ab==．
20．已知数列{an}，其前n项和为
（Ⅰ）求a1，a2，a3；
（Ⅱ）求{an}的通项公式an．
【考点】数列递推式．
【分析】通过与Sn+1=（n+1）2+（n+1）作差、计算即得结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
∴Sn+1=（n+1）2+（n+1），
两式相减得：an+1=Sn+1﹣Sn
=（n+1）2+（n+1）﹣（n2+n）
=2（n+1），
又∵a1=12+1=2满足上式，
∴an=2n，
∴a1=2，a2=4，a3=6；
（Ⅱ）由（I）知数列{an}的通项公式an=2n．
21．已知抛物线的标准方程是y2=6x，
（1）求它的焦点坐标和准线方程，
（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，
（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=
∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，
（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，
∴直线L的方程为y=x﹣，
代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，
所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．
故所求的弦长为12．
22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2
），把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即可得出m与k的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于，
∴=1， =，
∴a=2，b=，
∴椭圆C的方程为=1；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立椭圆方程得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣2）=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，
由PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，代入得4k2+8mkx+3m2=0
∴m=﹣2k（舍去），m=﹣k，
∴直线AB的方程为y=k（x﹣），所以过定点（，0）．