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- 2021-04-17 发布
时间:120分钟
满分:150分
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1、对于空间向量,,若,则实数（ ）
A.
B.
C.
D.
2、 已知函数,则（ ）
A.
B. 1
C.-1
D.
3、如图，向圆内随机掷一粒豆子（豆子的大小忽略不计），则豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球,若摸出的球是红球的概率是,摸出的球是黑球的概率是,那么摸出的球是白球或黑球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
5、直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，若的中点横坐标为3，则线段的长为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
广告费用X（万元）
4
2
3
5
销售额y（万元）
49
26
39
54
6、 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:
根据上表可得回归方程中的为,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.万元
B.万元
C.万元
D.万元
7、设，则是 的（ ）
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8、执行如图所示的程序框图,输出的（ ）
A.
B.
C.
D.
9、设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任一点．线段的垂直平分线与的连线交于点，则的轨迹方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、双曲线虚轴上的一个端点为，两个焦点为，，，则双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
11、已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的不等式对任意的恒成立.若为真命题，为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知，为椭圆的两个焦点，（不在轴上）为椭圆上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13、写出命题“”的否定：__________．
14、若从甲、乙、丙、丁位同学中选出位同学参加某个活动,则甲被选中的概率为_____.
15、已知曲线,则曲线在处的切线与坐标轴围成的图形面积为________.
16、直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点,若,则直线的斜率为__________.
三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)
17、已知向量,,.
(1)若,求的值;
(2)若,,,四点共面,求的值.
18、已知曲线在点处的切线方程是.
(1)求 的值；
(2)如果曲线的某一切线与直线： 垂直,求切点坐标与切线的方程.
19、省《体育高考方案》于年月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若分数段的人数为人.
(Ⅰ)请估计一下这组数据的平均数；
(Ⅱ)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.
20、设点为坐标原点,抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点,若,求:
(1)抛物线的标准方程;
(2)的面积.
21、如图,在直三棱柱中,,,,点、分别在棱、上,且,.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)求平面与平面所成角的余弦值.
22、已知椭圆的一个顶点是，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知矩形的四条边都与椭圆相切，设直线AB方程为，求矩形面积的最小值与最大值.
静宁一中2019-2020学年度第一学期高二级第三次试题（卷）
数学（理）答案解析
第1题答案D
第1题解析
因为,所以,即,所以.
第2题答案A
第2题解析
∵,∴,∴.
第3题答案B
第3题解析
设圆的半径为，则圆的面积为.设正方形的边长为，则，∴，故正方形的面积为.∵豆子落在圆内的每一个地方是均等的，∴豆子恰好落在圆的内接正方形中的概率.故选B.
第4题答案D
第4题解析
从袋中摸一个球,摸到的是红球,是白球,是黑球这三个事件是互斥的,因此摸出的球是白球或黑球的概率为.
第5题答案D
第5题解析
设抛物线的焦点为，准线为，是的中点，
分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，
由抛物线的定义，
得
.
故选D.
第6题答案B
第6题解析
∵,,∵数据的样本中心在线性回归直线上,回归方程中的为,∴,∴.
∴线性回归方程是,∴广告费用为6万元时销售额为.
第7题答案A
第7题解析
，则，∴，条件充分，反之不真，如.
第8题答案C
第8题解析
按照程序框图依次执行为,,;
,,;
,,,
退出循环,输出.故应选C.
第9题答案B
第9题解析
解答：由题意，，所以，所以点轨迹是椭圆，且，即，，轨迹方程为，故选B．
第10题答案A
第10题解析
因为，所以，所以，又由，可知，故选A.
第11题答案C
第11题解析
当命题为真时，∵函数图象的对称轴为直线，∴；
当命题为真时，当时，原不等式为，该不等式的解集不为，则这种情况不存在；
当时，则有解得.
又∵为真，为假，∴与一真一假，
若真假，则，解得；
若假真，则解得.
综上所述，的取值范围是或.故选C.
第12题答案C
第12题解析
由椭圆的定义，得，平方得 ①.
由，∴ ②，
由余弦定理，得 ③，
由①②③，得，∴，.
，∴，即，∴.
则椭圆离心率的取值范围是.故选C.
第13题答案
第13题解析
因为命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为.
第14题答案
第14题解析
从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出名代表参加学校会议,共有甲乙、甲丁、甲丙、乙丙、乙丁、丙丁种方法,甲被选中,共有甲乙、甲丁、甲丙种方法,∴甲被选中的概率是.
第15题答案
第15题解析
对求导,,,
所以曲线在处的切线斜率为,切线方程为,
切线与坐标轴的交点为和,
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
第16题答案
第16题解析
依题意,抛物线的焦点,
设直线的方程为
由,得,设,.
∴,,∵,∴即,∵,∴,解得或,∴或,又,将代入解得.
第17题答案
(1);
(2).
第17题解析
(1)由,得,∴,
∴.
∴,解得.
(2)由,,,四点共面,得,,使得,,
∴.
∴,解得.
第18题答案
(1)；
(2),或.
第18题解析
(1)∵的导数,
由题意可得, ,
解得, .
(2)∵切线与直线垂直,
∴切线的斜率.设切点的坐标为,
则,∴.
由,可得,或.
则切线方程为或.
即或.
第19题答案(Ⅰ)； (Ⅱ).
第19题解析
（Ⅰ）由频率分布直方图可知：分的频率为，
分的频率为，分的频率为，
分的频率为，分的频率为；
∴这组数据的平均数
（分）.
（Ⅱ）∵分数段的人数为人，频率为；
∴参加测试的总人数为人，
∴分数段的人数为人，
设第一组分数段的同学为，，，；
第五组分数段的同学为，.
则从中选出两人的选法有：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
共15种；其中两人成绩差大于的选法有：
，，，，，
，，共种，
则选出的两人为“帮扶组”的概率为.
第20题答案(1);(2).
第20题解析
(1)由题可知,则直线的方程为,
代入,化简可得.
设,,则有.
∵,∴有,解得,
∴抛物线的方程为:.
(2)可得直线的方程为:.
则点到直线的距离,
∴的面积.
第21题答案见解析
第21题解析
(1)建立如图所示的直角坐标系,
则,,,,
从而,
记与的夹角为,则有:.
由异面直线与所成角的范围为,
得异面直线与所成角为.
(2)记平面和平面的法向量分别为和,
则由题设可令,且有平面的法向量为,
,.
由,取,得
记平面与平面所成的角为,
则.
∴平面与平面所成角的余弦值为
第22题答案
(1)；
(2)当时有最大值10；当时，有最小值8.
第22题解析
(1)由题意，椭圆的一个顶点是，
所以,
又离心率为，即，
解得，故椭圆C的方程是；
(2)当时，椭圆的外切矩形面积为8.
当时，椭圆的外切矩形的边所在直线方程为，
所以，直线BC和AD的斜率均为.
由 ，消去y得 ，
，
化简得：，
所以，直线AB方程为 ，
直线DC方程为，
直线AB与直线DC之间的距离为 ，
同理，可求BC与AD距离为 ，
则矩形ABCD的面积为
由均值定理 ，
仅当，即时有最大值10.
因此，当时有最大值10；当时，有最小值8.