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- 2021-04-17 发布
2017-2018学年安徽省淮南市第二中学高二上学期期中考试数学（理）试题
命题人：数学命题组
一、选择题（每题5分，共12题）
1.椭圆的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线，平面，且，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.在直角坐标系中，方程的曲线是（ ）
A B C D
4.将图1所示正方体截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）
A. B. C. D.
5.椭圆和有（ ）
A.相等的焦距 B.等长的长轴 C.相等的离心率 D.等长的短轴
6.有关下列命题，其中说法错误的是（ ）
A.命题“若，则”的否命题为“若，则”
B.“”是“”的必要不充分条件
C.若是假命题，则，都是假命题
D.命题“若且，则”的等价命题是“若，则或”
7.已知直线过椭圆短轴的一个顶点，则离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
9.中心为，一个焦点为的椭圆，截直线所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
10.在体积为的三棱锥中，，，，且平面平面，若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积是（ ）
A. B. C. D.
11.设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.如图，正方体的棱长为1，为的中点，则下列五个命题：
①点到平面的距离为；
②在空间与，，都相交的直线有无数条；
③空间四边形在正方体六个面内的射影围成的图形中，面积最小的值为；
④过的中点与直线所成角为并且与平面所成角为的直线有3条。
其中真命题个数（ ）.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（每题5分，共4题）
13.命题，使得，写出命题的否定.
14.焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为.
15.如图，已知在一个二面角的棱上有两个点，，线段，分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于交线，，，，，则这个二面角的度数为.
16.已知，.若对于所有的，均有，则的取值范围是.
三、解答题（17题10分，18-22题12分）
17.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：点在椭圆的外部.若为真，求的取值范围.
18.已知中心在坐标原点的椭圆，经过点，且过点为其右焦点.
（1）求椭圆的标准方程；（2）是（1）中所求椭圆上的动点，求中点的轨迹方程.
19.如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面（过圆柱的轴，截圆柱所得的截面），是圆柱底面圆周上不与，重合的一个点.
（1）求证：无论点如何运动，平面平面；
（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比.
20.设分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，
（1）若的周长为16，求；
（2）若，求椭圆的离心率.
21.已知多面体如图所示，其中为矩形，为等腰直角三角形，，四边形为梯形，且，，.
（1）若为线段的中点，求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面
所成角的余弦值等于？若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由.
22.如图，已知离心率为的椭圆：过点，为坐标原点，平行于的直线交椭圆与不同的两点，.
（1）求椭圆的方程.
（2）证明：直线斜率之和为定值.
答案
选择题：
1-5 CBCBA 6-10 CBACA 11-12 DC
填空题
13.
14.
15.
16.
解答题
17.
18.(1) 依题意，可设椭圆的方程为，
且可知左焦点为，从而有，解得，又，所以，故椭圆的方程为．
（2）设
∵为的中点
∴
由是上的动点
∴，
即点的轨迹方程是
19.（1）由条件，为底面圆的直径，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点，所以，又圆柱母线平面，则，点，
所以平面，从而平面平面；
（2）设圆柱的母线长为，底面半径为，则圆柱的体积为，
当点是弧的中点时，为等腰直角三角形，面积为，
三棱锥的体积为，
三棱柱的体积为，
则四棱锥的体积为，
四棱锥与圆柱的体积比为．
20.（本小题满分13分）
解：（1）由，得：，
∵的周长为16，∴由椭圆定义可得，.
故.
（2）设，则且，
由椭圆定义可得.
在中，由余弦定理可得，
即，
化简可得，而，故.
于是由，，
因此，可得，
故为等腰直角三角形.
从而，∴椭圆的离心率.
21.（2）与重合
22.（Ⅰ）解：设椭圆的方程为：，
由题意得： ，
解得，，
∴椭圆方程为．
（Ⅱ）证明：由直线，设：，
将式子代入椭圆得：，
设，则，，
设直线、的斜率分别为，
则，
∵，
.