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- 2021-04-17 发布
专题1.1 集合的概念及其基本运算
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
1.集合间的基本关系
1． 了解集合、元素的含义及其关系。
2．理解全集、空集、子集的含义，及集合之间的包含、相等关系。
3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。
1.集合交、并、补的运算是考查的热点；
2.集合间的基本关系很少涉及；
3.备考重点：
(1) 集合的交并补的混合运算；
(2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系；
(3) 简单不等式的解法.
2.集合的基本运算
1．会求简单集合的并集、交集。
2．理解补集的含义，且会求补集。
2017 浙江卷，1
2016 浙江卷文理，1
2015 浙江卷文理，1
2014 浙江卷文理，1
2013 浙江卷文1，理2
【知识清单】
1．元素与集合
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集及其符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或
N＋
Z
Q
R
对点练习：
【2017浙江嘉兴一中模拟】若集合， ，则集合中的元素个数为（ ）
A. 9 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】D
2．集合间的基本关系
（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。记为或．
（2）真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。记为．
（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．
（4）若一个集合含有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为．
对点练习：
【2017辽宁锦州质检（一）】集合，集合，则集合与集合的关系（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】D
【解析】因为 ,所以且,选D.
3．集合的运算
(1)三种基本运算的概念及表示
名称
交集
并集
补集
数学
语言
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
CUA={x|x∈U,且xA}
图形
语言
（2）三种运算的常见性质
， ， ，，，．
，，．
, , , ．
对点练习：
【2017浙江卷】已知，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【考点深度剖析】
高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识，集合的基本运算．纵观近5年的高考试题，主要考查集合的基本运算，其中集合以描述法呈现，元素的性质以不等式为主，偶有离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素，进一步进行交、并、补等运算．
【重点难点突破】
考点1 集合的概念
【1-1】若，集合，求的值________．
【答案】2
【解析】由可知，则只能，则有以下对应关系：
① 或 ②
由①得符合题意；②无解．
∴．
【1-2】集合，则中元素的个数为（ ）
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
试题分析：，，因为，∴集合，则中元素的个数为个．
【领悟技法】
与集合元素有关问题的思路：
(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【触类旁通】
【变式一】【2017河北唐山期末】已知集合，则中元素的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【变式二】设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解析】＝，故中元素的个数是8．
考点2 集合间的基本关系
【2-1】【2017四川适应性测试】设集合，集合，则使得的的所有取值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：因为，所以，因此，选D.
【2-2】已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A．(0,1] B．1，＋∞) C．(0,1) D．(1，＋∞)
【答案】 B
【领悟技法】
1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．
【触类旁通】
【变式1】设集合，对任意实数x恒成立，且，则下列关系中成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，或．
∴．∴．∴．
【变式2】已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,或，所以．
考点3 集合的基本运算
【3-1】【2017新课标1】已知集合A=，B=，则
A．AB= B．AB
C．AB D．AB=R
【答案】A
【解析】由得，所以，选A．
【3-2】【2017浙江五校联考】设全集，集合则集合= （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【3-3】【2017浙江台州一模】若集合，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，所以 或 ，故选C.
【领悟技法】
1. 集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。
2. 涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
3. 有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．
【触类旁通】
【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知集合， 则=( )
A. -1，2） B. （-2,2） C. （-2，3] D. -1,3]
【答案】A
【解析】，所以，故选A．
【变式2】【2017浙江杭州二模】设，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【易错试题常警惕】
易错典例1：设集合，，若，则的取值范围为________．
易错分析：忽视端点．
正确解析：由得，∴，由得，∴．
又当时，满足，时，也满足，∴.
温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．
易错典例2：设集合，若，则实数的取值范围是_______.
易错分析：遗忘空集．
温馨提示：在中容易忽视集合这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．
【素养提升之思想方法篇】
化抽象为具体——数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：
(1)利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系．
(2)利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算．
(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．
【典例】已知集合，集合，且，则＝________，＝________.
【答案】 －1，1.
【解析】 由题意，知．因为，
，结合数轴，如图．
所以.