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- 2021-04-17 发布
2016-2017学年吉林省吉林二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）
1．设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
2．椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
3．双曲线=1的一个焦点为（2，0），则m的值为（ ）
A． B．1或3 C． D．
4．双曲线=1的渐近线方程是（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
5．过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．.3条
6．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
7．如果曲线y=f（x）在点（2，3）处的切线过点（﹣1，2），则有（ ）
A．f′（2）＜0 B．f′（2）=0 C．f′（2）＞0 D．f′（2）不存在
8．下列说法正确的是（ ）
A．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处就没有切线
B．若曲线y=f（x）在点（x0，y0）处有切线，则f′（x0）必存在
C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率不存在
D．若曲线y=f（x）在点（x0，y0）处没有切线，则f′（x0）有可能存在
9．函数y=sin2x﹣cos2x的导数是（ ）
A．2cos B．cos2x﹣sin2x C．sin2x+cos2x D．2cos
10．以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A．∪ B．[0，π） C． D．∪
11．定义在R上的连续函数f（x），若（x﹣1）f′（x）＜0，则下列各式正确的是（ ）
A．f（0）+f（2）＞2f（1） B．f（0）+f（2）=2f（1）
C．f（0）+f（2）＜2f（1） D．f（0）+f（2）与f（1）大小不定
12．已知函数f（x）=ax3+c，且f′（1）=6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为（ ）
A．1 B．4 C．﹣1 D．0
二、填空题（共4题，每题5分，共计20分）
13．椭圆E： +=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 ．
14．已知方程=1表示双曲线，则k的取值范围是 ．
15．过曲线y=2x上两点（0，1），（1，2）的割线的斜率为 ．
16．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= ．
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）
17．（10分）已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M，N两点．若MN的中点横坐标为，则此双曲线的方程为 ．
18．（10分）已知抛物线的顶点为椭圆（a＞b＞0）的中心．椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行．又抛物线与椭圆交于点，求抛物线与椭圆的方程．
19．（10分）已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1．
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（﹣1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
20．（10分）已知函数f（x）=（x﹣a）2（x﹣b）（a，b∈R，a＜b）．
（1）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．
2016-2017学年吉林省吉林二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题，每题5分，共60分）
1．设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段
【考点】椭圆的定义．
【分析】对选项进行分析：在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1、F2的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．
【解答】解：对于在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1、F2的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．
故选D．
【点评】本小题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题．
2．椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．32 B．16 C．8 D．4
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先由椭圆方程求得长半轴，而△ABF2的周长为AB+BF2+AF2，由椭圆的定义求解即可．
【解答】解：∵椭圆
∴a=4，b=，c=3
根据椭圆的定义
∴AF1+AF2=2a=8
∴BF1+BF2=2a=8
∵AF1+BF1=AB
∴△ABF2的周长为4a=16
故选B
【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用，应用的定义的基本特征，是与焦点有关．
3．双曲线=1的一个焦点为（2，0），则m的值为（ ）
A． B．1或3 C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线方程以及焦点坐标，列出m的关系式，求解即可．
【解答】解：∵双曲线=1的焦点为（2，0），在x轴上且c=2，
∴m+3+m=c2=4．∴m=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
4．双曲线=1的渐近线方程是（ ）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线的方程，得到a=5且b=2，利用双曲线渐近线方程的公式加以计算，可得答案．
【解答】解：由于双曲线，
则a=5且b=2，双曲线的渐近线方程为y=±x，
即y=x．
故选：A．
【点评】本题给出双曲线的方程，求它的渐近线．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．
5．过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．.3条
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先验证点P（2，4）在抛物线y2=8x上，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．
【解答】解：由题意可知点P（2，4）在抛物线y2=8x上
故过点P（2，4）且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是
①过点P（2，4）且与抛物线y2=8x相切
②过点P（2，4）且平行与对称轴．
∴过点P（2，4）且与抛物线y2=8x有且只有一个公共点的直线有2条．
故选C．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题，正确分类是关键．
6．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和
．
故选A．
【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题．
7．如果曲线y=f（x）在点（2，3）处的切线过点（﹣1，2），则有（ ）
A．f′（2）＜0 B．f′（2）=0 C．f′（2）＞0 D．f′（2）不存在
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】由题意知切线过（2，3），（﹣1，2），利用导数的几何意义，可得结论．
【解答】解：由题意知切线过（2，3），（﹣1，2），所以k=f′（2）===＞0．
故选C．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查斜率的计算，比较基础．
8．下列说法正确的是（ ）
A．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处就没有切线
B．若曲线y=f（x）在点（x0，y0）处有切线，则f′（x0）必存在
C．若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率不存在
D．若曲线y=f（x）在点（x0，y0）处没有切线，则f′（x0）有可能存在
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义，可得若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率不存在．
【解答】解：根据导数的几何意义，可得若f′（x0）不存在，则曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率不存在．
故选：C．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
9．函数y=sin2x﹣cos2x的导数是（ ）
A．2cos B．cos2x﹣sin2x C．sin2x+cos2x D．2cos
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则和三角函数的和差公式计算即可
【解答】解：y′=（sin2x）′﹣（cos2x）′=2cos2x+2sin2x=2（cos2x+sin2x）=2cos
故选：A．
【点评】本题导数的运算法则和三角函数的和差公式，属于基础题
10．以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A．∪ B．[0，π） C． D．∪
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．
【解答】解：y'=cosx
∵cosx∈[﹣1，1]
∴切线的斜率范围是[﹣1，1]
∴倾斜角的范围是[0，]∪
故选A
【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，导函数的基本知识．考查了学生对基础知识的灵活运用．
11．定义在R上的连续函数f（x），若（x﹣1）f′（x）＜0，则下列各式正确的是（ ）
A．f（0）+f（2）＞2f（1） B．f（0）+f（2）=2f（1）
C．f（0）+f（2）＜2f（1） D．f（0）+f（2）与f（1）大小不定
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】利用（x﹣1）f'（x）＜0，得到x＞1时，f'（x）＜0；x＜1时，f'（x）＞0；得到f（x）在（1，+∞）递减；在（﹣∞，1）递增；判断出函数值的大小．
【解答】解：因为（x﹣1）f'（x）＜0，
所以x＞1时，f'（x）＜0；x＜1时，f'（x）＞0；
所以f（x）在（1，+∞）递减；在（﹣∞，1）递增；
所以f（0）＜f（1），
f（2）＜f（1）
所以f（0）+f（2）＜2f（1）
故选C．
【点评】解决函数的单调性问题，常利用函数的导数与函数单调性的关系来解决．
12．已知函数f（x）=ax3+c，且f′（1）=6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c的值为（ ）
A．1 B．4 C．﹣1 D．0
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出函数的导数，利用导函数值求出a，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值，推出c即可．
【解答】解：∵f′（x）=3ax2，∴f′（1）=3a=6，∴a=2．当x∈[1，2]时，f′（x）=6x2＞0，即f（x）在[1，2]上是增函数，∴f（x）max=f（2）=2×23+c=20，∴c=4．
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．
二、填空题（共4题，每题5分，共计20分）
13．椭圆E： +
=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为 x+2y﹣4=0 ．
【考点】直线与圆锥曲线的关系．
【分析】设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．
两式相减得．
又x1+x2=4，y1+y2=2，
∴kAB=．
因此所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．
故答案为：x+2y﹣4=0．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．
14．已知方程=1表示双曲线，则k的取值范围是 ﹣1＜k＜1 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线的性质，列出不等式求解即可．
【解答】解：因为方程=1表示双曲线方程，所以（1﹣k）（1+k）＞0，解得﹣1＜k＜1．
故答案为：﹣1＜k＜1
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
15．过曲线y=2x上两点（0，1），（1，2）的割线的斜率为 1 ．
【考点】变化的快慢与变化率．
【分析】根据斜率公式计算即可．
【解答】解：由平均变化率的几何意义知k==1．
故答案为：1
【点评】本题考查了平均变化率的几何意义，属于基础题．
16．（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论．
【解答】解：由题意，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1
∴f（5）+f′（5）=2
故答案为：2
【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分）
17．（10分）（2017春•丰满区校级月考）已知双曲线的中心在原点且一个焦点是F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M，N两点．若MN的中点横坐标为，则此双曲线的方程为 ．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】
先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．
将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
所以双曲线的方程是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
18．（10分）（2012秋•仙游县校级期末）已知抛物线的顶点为椭圆（a＞b＞0）的中心．椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，且它们的准线互相平行．又抛物线与椭圆交于点，求抛物线与椭圆的方程．
【考点】抛物线的标准方程；椭圆的标准方程．
【分析】设出抛物线方程，代入M的坐标，可得抛物线的方程，利用椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，代入M的坐标，求得几何量，即可得到结论．
【解答】解：由题意，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），则
将代入方程可得，∴p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x
∵椭圆的离心率是抛物线离心率的一半，
∴
∵，a2=b2+c2
∴a=2，b=
∴椭圆方程为：
【点评】本题考查抛物线、椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
19．（10分）（2011•湘西州一模）已知函数f（x）=x3﹣ax﹣1．
（1）若f（x）在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使f（x）在（﹣1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），要使f（x）在实数集R上单调递增，只需f′（x）≥0在R上恒成立，再验证等号是否成立，即可求出实数a的取值范围；
（2）欲使f（x）在（﹣1，1）上单调递减，只需f′（x）≤0在（﹣1，1）上恒成立，利用分离法将a分离出来，求出不等式另一侧的最大值，再验证等号是否成立，即可求出a的范围；
【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣a，3x2﹣a≥0在R上恒成立，∴a≤0．
又a=0时，f（x）=x3﹣1在R上单调递增，∴a≤0．
（2）假设存在a满足条件，由题意知，
f′（x）=3x2﹣a≤0在（﹣1，1）上恒成立，
即a≥3x2在（﹣1，1）上恒成立，∴a≥3．
又a=3，f（x）=x3﹣3x﹣1，f′（x）=3（x2﹣1）在（﹣1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（﹣1，1）上单调递减，
∴a≥3．
【点评】
本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，注意验证取等号是否成立，考查计算能力和分析问题的能力．
20．（10分）（2017春•丰满区校级月考）已知函数f（x）=（x﹣a）2（x﹣b）（a，b∈R，a＜b）．
（1）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的极值点，根据等差数列的性质求出x4即可．
【解答】解：（1）当a=1，b=2时，因为f′（x）=（x﹣1）（3x﹣5），
故f′（2）=1，又f（2）=0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y=x﹣2．
（2）证明：因为f′（x）=3（x﹣a）（x﹣），
由于a＜b，故a＜，
所以f（x）的两个极值点为x=a或x=，
不妨设x1=a，x2=，
因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，故x3=b，
又因为﹣a=2（b﹣），x4=（a+）=，
此时a，，，b依次成等差数列，
所以存在实数x4满足题意，且x4=．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及等差数列的性质，是一道中档题．