专题71 数学归纳法-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 27页

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 专题71数学归纳法 最新考纲 ‎1.了解数学归纳法的原理.‎ ‎2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.‎ 基础知识融会贯通 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】用数学归纳法证明等式 ‎【典型例题】‎ 已知数列{an}前n项的和为Sn，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求s1、s2、s3的值；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵an＝n2，n∈N*‎ ‎∴s1＝a1＝1，s2＝a1+a2＝1+4＝5，s3＝a1+a2+a3＝1+4+9＝14．…‎ ‎（Ⅱ）证明：（1）当n＝1时，左边＝s1＝1，‎ 右边1，‎ 所以等式成立．…‎ ‎（2）假设n＝k（k∈N*）时结论成立，即Sk，…‎ 那么，Sk+1＝Sk+（k+1）2‎ ‎（k+1）2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即n＝k+1时，等式也成立．…‎ 根据（1）（2）可知对任意的正整数n∈N*都成立．… ‎ ‎【再练一题】‎ 用数学归纳法证明：1时，由n＝k到n＝k+1左边需要添加的项是　 　．‎ ‎【解答】解：∵n＝k时，左边最后一项为，n＝k+1时，左边最后一项为，‎ ‎∴从n＝k到n＝k+1，不等式左边需要添加的项为一项为，‎ 故答案为：，‎ 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 ‎(1)明确初始值n0的取值并验证当n＝n0时等式成立．‎ ‎(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标．‎ ‎(3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．‎ ‎【题型二】用数学归纳法证明不等式 ‎【典型例题】‎ 用数学归纳法证明：••．‎ ‎【解答】证明：①∵当n＝1时，0，‎ ‎∴，∴，即n＝1时，不等式成立；‎ ‎②假设当n＝k时，不等式成立，即•••…•．‎ 则当n＝k+1时，•••…•••，‎ ‎∵（）2﹣（）20，‎ ‎∴（）2＜（）2，‎ ‎∴，即n＝k+1时，原不等式也成立；‎ 综合①②知，对任意n∈N*，••． ‎ ‎【再练一题】‎ 用数学归纳法证明不等式1n（n∈N*）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左端增加的项数是（　　）‎ A．1 B．2k﹣‎1 ‎C．2k D．2k+1‎ ‎【解答】解：由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k+1时，最后一项为 ‎∴由n＝k变到n＝k+1时，‎ 不等式左边增加的项数是（2k+1﹣1）﹣（2k﹣1）＝2k．‎ 故选：C． ‎ 思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 ‎(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．‎ ‎【题型三】归纳—猜想—证明 命题点1　与函数有关的证明问题 ‎【典型例题】‎ 已知y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy．‎ ‎（1）求f（0）的值；‎ ‎（2）若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表达式并用数学归纳法证明；‎ ‎（3）若．‎ ‎【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝0；‎ ‎（2）f（2）＝4，f（3）＝9，f（4）＝16，猜想f（n）＝n2，‎ ‎①当n＝1时，显然成立； ‎ ‎②设n＝k时成立，即f（k）＝k2，则n＝k+1时，f（k+1）＝f（k）+f（1）+2k＝（k+1）2即＝k+1时，成立 综上知f（n）＝n2，成立 ‎（3）设 令 变形为：，因此数列是等比数列，‎ 首项为，∴‎ ‎∴ ‎ ‎【再练一题】‎ 已知f（n）＝1，g（n）（3），n∈N*．‎ ‎（1）当n＝1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；‎ ‎（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并用数学归纳法证明．‎ ‎【解答】解：（1）当n＝1时，f（1）＝1＝g（1）；‎ 当n＝2时，f（2），g（2），∴f（2）＜g（2）；‎ 当n＝3时，f（3），g（3），∴f（3）＜g（3）．‎ ‎（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），下面利用数学归纳法证明：①当n＝1，2，3时，不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k（k∈N*）（k≥3）时，不等式成立，即1（3）．‎ 则当n＝k+1时，则f（k+1）＝f（k），‎ ‎∵0，∴，‎ ‎∴f（k+1）g（k+1），即当n＝k+1时，不等式成立．由①②可知：对∀n∈N*，都有f（n）≤g（n）． ‎ 命题点2　与数列有关的证明问题 ‎【典型例题】‎ 已知a1（n∈N*）‎ ‎（1）求a2，a3，a4并由此猜想数列{an}的通项公式an的表达式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【解答】解：（1）因为a1（n∈N*）‎ 所以，，‎ 由此猜想数列{an}的通项公式（n∈N*）‎ ‎（2）下面用数学归纳法证明 ‎①当n＝1时，，猜想成立 ‎②假设当n＝k （k∈N*，k≥1）时，猜想成立，即 那么ak+1．‎ 即当n＝k+1时，猜想也成立；‎ 综合①②可知，对∀n∈N*猜想都成立，即（n∈N*） ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1．‎ ‎（Ⅰ）求a2，a3，a4，a5；‎ ‎（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎【解答】解：（I）a2＝‎2a1+1＝3，‎ a3＝‎2a2+1＝7，‎ a4＝‎2a3+1＝15，‎ a5＝‎2a4+1＝31．‎ ‎（II）猜想：an＝2n﹣1，‎ 证明：‎ 当n＝1时，显然21﹣1＝1，猜想成立．‎ 假设n＝k时猜想成立，即ak＝2k﹣1，‎ 则ak+1＝2ak+1＝2（2k﹣1）+1＝2k+1﹣1，‎ ‎∴当n＝k+1时，猜想成立．‎ ‎∴an＝2n﹣1． ‎ 命题点3　存在性问题的证明 ‎【典型例题】‎ 是否存在a，b，c使等式（）2+（）2+（）2+…+（）2对一切n∈N*都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【解答】解：取n＝1，2，3可得解得：a，b，c．‎ 下面用数学归纳法证明（）2+（）2+（）2+…+（）2．‎ 即证12+22+…+n2n（n+1）（2n+1），‎ ‎①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；‎ ‎②假设n＝k时等式成立，即12+22+…+k2k（k+1）（2k+1）成立，‎ 则当n＝k+1时，等式左边＝12+22+…+k2+（k+1）2═k（k+1）（2k+1）+（k+1）2[k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2]（k+1）（2k2+7k+6）（k+1）（k+2）（2k+3），‎ ‎∴当n＝k+1时等式成立；‎ 由数学归纳法，综合①②当n∈N*等式成立，‎ 故存在a，b，c使已知等式成立． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知数列{an}的通项公式为an，它的前n项和为Sn ‎（Ⅰ）求S1，S2，S3的值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，b，c使得Sn对一切n∈N*都成立？若存在，求出a，b，c的值，并用数学归纳法证明，若不存在，说明利用．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）已知，‎ 当n＝1时，解得：，‎ 当n＝2时，．‎ 当n＝3时，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：假设存在实数a、b、c使得对任意整数都成立．‎ 故：当n＝1，2，3时，，‎ 解得：a＝1，b＝1，c＝2．‎ 所以，对于任意n∈N都成立．‎ 证明如下：‎ ‎（1）当n＝1时，左边，右边，‎ 所以等式成立；‎ ‎（2）假设n＝k时等式成立，‎ 即：，‎ 当n＝k+1时，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 所以，当n＝k+1时等式成立．‎ 由（1）（2）知等式成立，即存在a＝1，b＝1，c＝2使得对于一切整数都成立．‎ 思维升华 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．‎ ‎(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．‎ 基础知识训练 ‎1．用数学归纳法证明命题“”时,在作归纳假设后,需要证明当时命题成立,即需证明 ( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 将题目中的，改为，即，故选B.‎ ‎2．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 的初始值应为1，而.‎ 故选：D ‎3．在用数学归纳法证明等式时，当时的左边等于（　　）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 等式左边的规律为：‎ 以1为首项，公差为1的等差数列的前项和.‎ 所以，当时的左边为：以1为首项，公差为1的等差数列的前2项和。‎ 所以当时的左边为：.‎ 故选：C ‎4．用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，时，为了使用假设，应将变形为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：假设时命题成立，即：被3整除．‎ 当时，‎ 故选：A．‎ ‎5．用数学归纳法证明等式：,由的假设到证明 时,等式左边应添加的式子是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；‎ 当时，等式左边等于，共项求和；‎ 所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是 ‎.‎ 故选D ‎6．利用数学归纳法证明“” 的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，左边应增加的项数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用数学归纳法证明“”的过程中，假设“”成立;当时，‎ 左边为 故增加的项数为项.‎ 故答案为：C.‎ ‎7．用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，当时，；当时，；当时，；‎ 当时，；当时，；当时，；‎ 当时，，‎ 所以用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于6，故选D.‎ ‎8．用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当n=k时，要证明的等式为：，‎ 当n=k+1时，要证明的等式为：‎ ‎，‎ 左边需要添加的项为.‎ 故选：D.‎ ‎9．现有命题“，”，不知真假。请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为（ ）‎ A．不能用数学归纳法去判断真假 B．一定为真命题 C．加上条件后才是真命题，否则为假 D．存在一个很大常数，当时，命题为假 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎(1)当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立；‎ ‎(2)假设时，等式成立，即，‎ 则时，，‎ 即时，等式也成立；‎ 综上，时，等式恒成立.‎ 故选B ‎10．在用数学归纳法证明:“对从开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的等于（ ）‎ A．1 B．3‎ C．5 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时，当时，当时，当时，当时，所以第一步验证的n0等于5，选C.‎ ‎11．用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，不等式左边的变化情况为（ ）‎ A．增加 B．增加 ‎ C．增加，减少 D．增加，减少 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当时，左边，‎ 当时，左边，‎ ‎，‎ 故选C.‎ ‎12．用数学归纳法证明：“”．从“到”左端需增乘的代数式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时，左端，‎ 当时，左端，‎ 从到时左边需增乘的代数式是： ．‎ 故选B．‎ ‎13．用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，左边= ；‎ 当时，左边= ；‎ 所以左边应添加的项为.‎ ‎14．在用数学归纳法证明不等式的过程中，从n＝k到n＝k+1时，左边需要增加的代数式是.________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，等式左侧为：，‎ 当时，等式左侧为：，‎ 据此可得，左边需要增加的代数式是.‎ ‎15．已知正项数列满足，前项和满足，则数列的通项公式为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，，猜想得，‎ 故，下面用数学归纳法证明：‎ ‎② ，满足，‎ ‎②假设时，结论成立，即，可得，‎ 则，‎ ‎，也满足，‎ 结合①②可知，，故答案为．‎ ‎16．已知正项数列的前项和为，数列的前项积为，若，则数列中最接近2019的是第______项 ‎【答案】45‎ ‎【解析】‎ ‎，可得，且；‎ 则，即，‎ ‎，即，‎ 两式相除得：，则，‎ 由，解得；‎ 由，解得；‎ 猜想，‎ 用数学归纳法证明，‎ 当时，，满足，‎ 假设当时，猜想成立，即，‎ 则当时，，满足，‎ 故猜想成立，即.‎ 时，，‎ 当不满足，‎ 故，‎ 由，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 综上可得数列中最接近2019的是第45项．‎ 故答案为：45．‎ ‎17．已知，其前项和为.‎ ‎（1）计算；‎ ‎（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）计算，.‎ ‎（2）猜想.‎ 证明：①当时，左边，右边，猜想成立.‎ ‎②假设猜想成立，即成立，‎ 那么当时，，‎ 而，故当时，猜想也成立.‎ 由①②可知，对于，猜想都成立.‎ ‎18．已知数列各项均为正数，满足．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【答案】（1），，；（2）猜想：；证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，又 ‎ 当时，，解得：‎ 当时，，解得：‎ ‎(2)猜想：‎ 证明：（1）当时，由（1）可知结论成立； ‎ ‎（2）假设当时，结论成立，即成立， ‎ 则当时，‎ 由与得：‎ 又 成立 根据（1）、（2）猜想成立，即：‎ ‎19．已知数列满足，.‎ ‎（1）计算，，；‎ ‎（2）猜测的表达式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（1）；（2），证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由及，得，进而，.‎ ‎（2）证明：猜想，再用数学归纳法证明之.‎ 当时，，而已知，‎ 所以时，猜想正确.‎ 假设当时，猜想正确，即，‎ 则时，.‎ 所以当时，猜想也成立.‎ 综上所述可知，对一切，猜想都正确.‎ ‎20．已知函数对任意实数都有，且.‎ ‎（I）求的值，并猜想的表达式；‎ ‎（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（I），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 猜想.‎ ‎（II）证明：当时，，猜想成立；‎ 假设时，猜想成立，即，‎ 则当时，，‎ 即当时猜想成立.‎ 综上，对于一切均成立.‎ 能力提升训练 ‎1．若命题成立，则它对也成立，已知成立,则下列结论正确的是( )‎ A．对所有正整数n都成立 B．对所有正偶数n都成立 C．对所有正奇数n都成立 D．对所有自然数n都成立 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意知，时命题成立，而根据时命题成立可以得到时命题也成立，因此该命题对所有的正偶数都成立，故选B.‎ ‎2．用数学归纳法证明：“”时，从，等式的左边需要增乘的代数式是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 用数学归纳法证明 时，‎ 时,左侧，‎ 时，左侧，‎ 从左边需增乘的代数式是 ‎，故选D.‎ ‎3．用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上（ ）‎ A．增加一项 B．增加项 C．增加项 D．增加项 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 当时，等式左端为：‎ 当时，等式左端为：‎ ‎ 需增加项 本题正确选项：‎ ‎4．用数学归纳法证明“”时，由时，不等试左边应添加的项是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由n=k时，左边为，‎ 当n=k+1时，左边为 所以增加项为两式作差得：，选C.‎ ‎5．如果命题对于成立，同时，如果成立，那么对于也成立。这样，下述结论中正确的是 （ ）‎ A．对于所有的自然数成立 B．对于所有的正奇数成立 C．对于所有的正偶数成立 D．对于所有大于3的自然数成立 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由于若命题成立，则它对也成立． 又已知命题成立， 可推出 均成立， 即对所有正奇数都成立 故选：B．‎ ‎6．已知数列的前项和为，首项，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn（n≥2），‎ 则：，‎ 所以：，‎ ‎，‎ 当n＝2时，，‎ 当n＝3时，，‎ ‎…‎ 猜想：，‎ 下面用数学归纳法来证明：‎ ‎①当n＝1时，，‎ ‎②当n＝k时，，‎ 则当n＝k+1时，，‎ 综上所述：．‎ 所以：．‎ 故选：A．‎ ‎7．已知数列是等差数列，且展开式的前三项的系数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式的中间项；‎ ‎（3）当时，用数学归纳法证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见证明 ‎【解析】‎ 解：（1）展开式的通项为，‎ 依题意，‎ 由可得（舍去）或.‎ ‎（2）所以展开式的中间项是第五项为：.‎ ‎（3）证：由（1），‎ ‎①当时，结论成立；‎ 当时，‎ ‎；‎ ‎②设当时，，‎ 则时，‎ ‎，‎ 由，可知，‎ 即.‎ 综上①②，当时，成立.‎ ‎8．设为虚数单位，，‎ 已知， ．‎ ‎（1）你能得到什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想；‎ ‎（2）已知，试利用的结论求．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）猜想）成立 ‎ 证明：①当n=1时，左边=右边=所以猜想成立 ‎ ‎②假设当时，猜想成立，‎ 即 ‎ 则当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 时，猜想也成立 ‎ 综上，由① ②可得对任意，猜想成立 ‎（2）∵‎ ‎∴ ‎ ‎9．（1）已知为实数，用分析法证明；‎ ‎（2）用数学归纳法证明；‎ ‎【答案】（I）见证明；（Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ 证明：(Ⅰ)要证，‎ 只要证 ‎ 只要证 只要证 只要证 ‎ 只要证 ‎ 只要证 只要证显然成立，故原结论成立．‎ ‎（Ⅱ）①当时，左边，右边，‎ 左边＝右边，等式成立． ‎ ‎②假设当时等式成立，即，‎ 那么当时，左边 右边 左边＝右边，即当时等式也成立； ‎ 综合①②可知等式对任何都成立．‎ ‎10．已知数列，，，，，，记数列的前项和．‎ ‎1计算，，，；‎ ‎2猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】1 ，，，；2 ，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎ ；；；；‎ 猜想．‎ 证明：当时，结论显然成立；‎ 假设当时，结论成立，即，‎ 则当时，，‎ 当时，结论也成立，‎ 综上可知，对任意，．‎ 由，知，等式对任意正整数都成立．‎