2017年高考试题——数学理（新课标Ⅱ卷）解析版参考版 11页

2017 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷） 理科数学解析 1．D 【解析】 2．C 【解析】1 是方程 的解， 代入方程得 ∴ 的解为 或 ，∴ 3．B 【解析】设顶层灯数为 ， ， ，解得 ． 4．B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为 6 的圆柱的一半． 5．A 【解析】目标区域如图所示，当直线 取到点 时，所求 最小值为 ． 6．D 【解析】只能是一个人完成 2 份工作，剩下 2 人各完成一份工作． 由此把 4 份工作分成 3 份再全排得       3 i 1 i3 i 2 i1 i 1 i 1 i        2 4 0x x m   1x  3m  2 4 3 0x x   1x  3x   1 3B  ， 1a 2q  7 1 7 1 2 3811 2    a S 1 3a  2 21 1π 3 10 π 3 6 63π2 2         V V V总 上 -2y = x+ z  6 3 ， z 15 2 3 4 3C A 36  7．D 【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话． 甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良 亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己 成绩． 8．B 【解析】 ， ， 代入循环得， 时停止循环， ． 9．A 【解析】取渐近线 ，化成一般式 ，圆心 到直线距离为 得 ， ， ． 10．C 【解析】 ， ， 分别为 ， ， 中点，则 ， 夹角为 和 夹角或 其补角（异面线所成角为 ） 可知 ， ， 作 中点 ，则可知 为直角三角形． ， 中， ， 则 ，则 中， 则 中， 又异面线所成角为 ，则余弦值为 ． 0S  1k  1a   7k  3S  by xa 0bx ay   2 0， 2 2 23 b a b   2 24c a 2 4e  2e  M N P AB 1BB 1 1B C 1AB 1BC MN NP π0 2      ， 1 1 5 2 2MN AB  1 1 2 2 2NP BC  BC Q PQM△ 1PQ 1 2MQ AC ABC△ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC      14 1 2 2 1 72            7AC 7 2MQ  MQP△ 2 2 11 2MP MQ PQ   PMN△ 2 2 2 cos 2 MN NP PMPNM MH NP      2 2 2 5 2 11 2 2 2 10 55 22 2 2                           π0 2      ， 10 5 11．A 【解析】 ， 则 ， 则 ， ， 令 ，得 或 ， 当 或 时， ， 当 时， ， 则 极小值为 ． 12．B 【解析】几何法： 如图， （ 为 中点）， 则 ， 要使 最小，则 ， 方向相反，即 点 在线段 上， 则 ， 即求 最大值， 又 ， 则 ， 则 ． 解析法： 建立如图坐标系，以 中点为坐标原点， ∴ ， ， ． 设 ， ， ， ， ∴    2 12 1 xf x x a x a e              32 4 2 2 1 0 1f a a e a                 2 11 xf x x x e        2 12 xf x x x e        0f x  2x   1x  2x   1x    0f x  2 1x     0f x   f x  1 1f   2PB PC PD    D BC   2PA PB PC PD PA        PA PD  PA PD P AD min2 2PD PA PA PD       PD PA  32 32PA PD AD       2 2 3 3 2 2 4 PA PD PA PD                  ≤ min 3 32 2 4 2PD PA       BC  0 3A ，  1 0B  ，  1 0C ，  P x y，  3PA x y   ，  1PB x y    ，  1PC x y   ，   2 22 2 2 2PA PB PC x y y       P D CB A 则其最小值为 ，此时 ， ． 13． 【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中 ， 则 14． 【解析】 令 且 则当 时， 取最大值 1． 15． 【解析】设 首项为 ，公差为 ． 则 求得 ， ，则 ， 2 2 3 32 2 4x y             3 32 4 2        0x  3 2y  1.96 0.02p 100n   1 100 0.02 0.98 1.96xD np p      1   2 3 πsin 3cos 04 2f x x x x          ，   2 31 cos 3cos 4f x x x    cos x t  0 1t  ， 2 13 4y t t    2 3 12t        3 2t   f x 2 +1 n n  na 1a d 3 1 2 3a a d   4 14 6 10S a d   1 1a  1d  na n  1 2n n nS     1 1 2 2 2 2 1 2 2 3 1 1 n k kS n n n n          1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 3 1 1n n n n              1 22 1 1 1 n n n        16． 【解析】 则 ，焦点为 ，准线 ， 如图， 为 、 中点， 故易知线段 为梯形 中位线， ∵ ， ， ∴ 又由定义 ， 且 ， ∴ 17. 【解析】（1）依题得： ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （2）由⑴可知 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 6 2 8y x 4p   2 0F ， : 2l x   M F N BM AFMC 2CN  4AF  3ME  ME MF MN NF 6NF NM MF   2 1 cossin 8sin 8 4(1 cos )2 2 B BB B     2 2sin cos 1B B  2 216(1 cos ) cos 1B B   (17cos 15)(cos 1) 0B B   15cos 17B  8sin 17B  2ABCS △ 1 sin 22 ac B  1 8 22 17ac   17 2ac  15cos 17B  2 2 2 15 2 17 a c b ac    2 2 2 15a c b   2 2( ) 2 15a c ac b    236 17 15b   2b  l F N M C B A O y x 18． 【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于 ” 为事件 “新养殖法的箱产量不低于 ”为事件 而 （2） 箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 由计算可得 的观测值为 ∵ ∴ ∴有 以上的把握产量的养殖方法有关． （3） ， ， ，∴中位数为 ． 50kg B 50kg C   0.040 5 0.034 5 0.024 5 0.014 5 0.012 5P B           0.62   0.068 5 0.046 5 0.010 5 0.008 5P C         0.66       0.4092P A P B P C  50kg 50kg≥ 2K  2 2 200 62 66 38 34 15.705100 100 96 104k        15.705 6.635  2 6.635 0.001P K ≥ 99% 1 5 0.2   0.2 0.004 0.020 0.044 0.032    80.032 0.068 17  8 5 2.3517  ≈ 50 2.35 52.35  52.35 19．【解析】 （1）令 中点为 ，连结 ， ， ． ∵ ， 为 ， 中点，∴ 为 的中位线，∴ ． 又∵ ，∴ ． 又∵ ，∴ ，∴ ． ∴四边形 为平行四边形，∴ ． 又∵ ，∴ （2）以 中点 为原点，如图建立空间直角坐标系． 设 ， 则 ， ， ， ， ， ． 在底面 上的投影为 ，∴ ．∵ ， ∴ 为等腰直角三角形． ∵ 为直角三角形， ，∴ ． 设 ， ， ．∴ ． ．∴ ． ∴ ， ， ．设平面 的法向量 ． z y x M' M O F P A B C D E PA F EF BF CE E F PD PA EF PAD△ 1 2EF AD∥ 90BAD ABC     BC AD∥ 1 2AB BC AD  1 2BC AD∥ EF BC∥ BCEF CE BF∥ BF PAB 面 CE PAB面∥ AD O 1AB BC  (0 0 0)O ， ， (0 1 0)A ， ， (1 1 0)B ， ， (1 0 0)C ， ， (0 1 0)D ， ， (0 0 3)P ， ， M ABCD M  MM BM  45MBM    MBM △ POC△ 3 3OC OP 60PCO   MM a  3 3CM a  31 3OM a   31 0 03M a      ， ， 2 2 2 23 1 61 0 13 3 2BM a a a a             3 21 13 2OM a     21 0 02M       ， ， 2 61 02 2M      ， ， 2 61 12 2AM        ， ， (1 0 0)AB  ， ， ABM 1 1(0 )m y z ， ， ，∴ ， ．设平面 的法向量为 ， ． ∴ ． ∴二面角 的余弦值为 ． 20． 【解析】⑴设 ，易知 又 ∴ ，又 在椭圆上． ∴ ，即 ． ⑵设点 ， ， ， 由已知： ， ， ∴ ， ∴ ． 设直线 ： ， 因为直线 与 垂直． ∴ 故直线 方程为 ， 令 ，得 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 若 ，则 ， ， ， 1 1 6 02y z  (0 6 2)m   ， ， (0 2 0)AD  ， ， (1 0 0)AB  ， ， ABD 2(0 0 )n z ， ， (0 0 1)n  ， ， 10cos , 5 m nm n m n          M AB D  10 5 ( )P x y， ( 0)N x， (0 )NP y ， 1 0 2 2 yNM NP         ， 1 2 M x y     ， M 22 12 2 yx      2 2 2x y  ( 3 )QQ y ， ( )P PP x y， ( 0)Qy  ( ) ( 3 ) 1P P P Q POP PQ x y y y y        ， ，   2 1OP OQ OP OP OQ OP           2 1 3OP OQ OP      3 3P Q P Q P P Qx x y y x y y      OQ 3 Qyy x  l OQl 3 l Q k y l 3 ( )P P Q y x x yy   0y  3( )P Q Py y x x   1 3 P Q Py y x x    1 3 P Q Px y y x    3 3P Q Py y x  1 (3 3 ) 13 P Px x x      0Qy  3 3Px  1Px   1Py   直线 方程为 ，直线 方程为 ， 直线 过点 ，为椭圆 的左焦点． 21． 【解析】⑴ 因为 ， ，所以 ． 令 ，则 ， ， 当 时， ， 单调递减，但 ， 时， ； 当 时，令 ，得 ． 当 时， ， 单调减；当 时， ， 单调 增． 若 ，则 在 上单调减， ； 若 ，则 在 上单调增， ； 若 ，则 ， ． 综上， ． ⑵ ， ， ． 令 ，则 ， ． 令 得 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调 递增． 所以， ． 因为 ， ， ， ， 所以在 和 上， 即 各有一个零点． 设 在 和 上的零点分别为 ，因为 在 上 单调减， 所以当 时， ， 单调增；当 时， ， 单调减．因此， 是 的极大值点． OQ 0y  l 1x   l ( 1 0) ， C    ln 0f x x ax a x   ≥ 0x  ln 0ax a x  ≥   lng x ax a x    1 0g    1 1axg x a x x     0a ≤   0g x   g x  1 0g  1x    0g x  0a    0g x  1x a 10 x a    0g x   g x 1x a   0g x   g x 0 1a   g x 11 a      ，  1 1 0g ga       1a   g x 1 1a      ，  1 1 0g ga       1a     min 1 1 0g x g ga         0g x ≥ 1a    2 lnf x x x x x     2 2 lnf x x x    0x    2 2 lnh x x x     1 2 12 xh x x x     0x    0h x  1 2x  10 2x    0h x   h x 1 2x    0h x   h x  min 1 1 2 ln 2 02h x h         2 2e 2e 0h     2 2 ln 2 0h    2 1e 0 2      ， 12 2       ， 10 2      ， 1 2      ，  h x  f x  f x 10 2      ， 1 2      ， 0 2x x，  f x 10 2      ， 00 x x    0f x   f x 0 1 2x x    0f x   f x 0x  f x 因为， 在 上单调增，所以当 时， ， 单 调减， 时， 单调增，因此 是 的极小值点． 所以， 有唯一的极大值点 ． 由前面的证明可知， ，则 ． 因为 ，所以 ，则 又 ，因为 ，所以 ． 因此， ． 22． 【解析】⑴设 则 ． 解得 ，化为直角坐标系方程为 ． ⑵连接 ，易知 为正三角形． 为定值． ∴当高最大时， 面积最大， 如图，过圆心 作 垂线，交 于 点 交圆 于 点， 此时 最大 23． 【解析】⑴由柯西不等式得： 当且仅当 ，即 时取等号． ⑵∵ ∴ ∴ ∴ ∴  f x 1 2      ， 2 1 2 x x    0f x   f x 2x x  f x 2x  f x  f x 0x 2 0 1e 2x     ，    2 4 2 2 0 e e e ef x f         0 0 02 2 ln 0f x x x     0 0ln 2 2x x     2 2 0 0 0 0 0 0 02 2f x x x x x x x      0 10 2x   0 1 4f x   2 0 1e 4f x      0 0M P   ， ， ， 0 | |OM OP  ， 0 0 0 0 16 cos 4           4cos   2 22 4x y    0x  AC AOC△ | |OA AOBS△ C AO AO H C B AOBS△ max 1 | | | |2S AO HB   1 | | | | | |2 AO HC BC  3 2        2 25 5 5 5 3 3 4a b a b a a b b a b     ≥   5 5ab ba 1a b  3 3 2a b    2 2 2a b a ab b       2 3 2a b b ab         3 3 2a b ab a b        3 2 3 a b aba b    由均值不等式可得： ∴ ∴ ∴ ∴ 当且仅当 时等号成立． （试卷为手动录入，难免存在细微差错，如您发现试卷中的问题，敬请谅解！转 载请注明出处！）     3 22 3 2 a b a baba b         ≤     3 22 3 2 a b a b a b         ≤    3 3 32 4 a ba b   ≤  31 24 a b ≤ 2a b ≤ 1a b 