【数学】2020届一轮复习人教B版　圆的极坐标方程作业 3页

一、选择题 ‎1．极坐标方程分别是ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是(　　)‎ A．2 B. C．1 D. 解析： 选D　ρ＝cos θ表示以为圆心，为半径的圆，ρ＝sin θ表示以为圆心，为半径的圆．所求圆心距为 ＝.‎ ‎2．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为(　　)‎ A．ρ＝2cos θ B．ρ＝－2cos θ C．ρ＝2sin θ D．ρ＝－2sin θ 解析： 选B　如图所示，已知圆心为P(，π)，在圆上任找一点M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°， 在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM，∴ρ＝2cos(π－θ)，即ρ＝－2cos θ.‎ ‎3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点作曲线C的切线，则切线长为(　　)‎ A．4 B. C．2 D．2 解析：选C　ρ＝4sin θ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.‎ ‎4．极坐标方程ρ＝2sin的图形是(　　)．‎ ‎ 解析： 选C　∵ρ＝2sin＝2sin θ·cos＋2cos θ·sin＝(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝ρsin θ＋ρcos θ，∴x2＋y2＝x＋y，∴2＋2＝1，∴圆心的坐标为.结合四个图形，可知选C.‎ 二、填空题 ‎5．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．‎ 解析：∵ρ2＝x2＋y2，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x2＋y2＝2y＋4x⇒x2＋y2－4x－2y＝0.‎ 答案：x2＋y2－4x－2y＝0‎ ‎6．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，则圆C的极坐标方程为________．‎ 解析：将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5.化简，得ρ2－4ρcosθ－－1＝0，此即为所求的圆C的极坐标方程．‎ 答案：ρ2－4ρcos－1＝0‎ ‎7．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P的极坐标为，则|CP|＝________.‎ 解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，圆心C(2，0)．点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|＝2.‎ 答案：2 ‎8．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，则圆C的半径为________．‎ 解析： 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.‎ 答案： 三、解答题 如图，在圆心极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．‎ 解：设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，‎ ρ0＝2ρ.‎ 由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，‎ 所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，‎ 故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.‎ 因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，‎ 即x2＋y2－4x＝0为轨迹的直角坐标方程．‎ ‎10．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．‎ 解： (1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.‎ ‎(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋2＝1，则Q的直角坐标方程为2＋y－2＝.‎ ‎11．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0), M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2, ρB＝4cos α，于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·＝2sin2α－－≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎