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- 2021-04-17 发布
江西省高安中学 2019-2020 学年
高二下学期期中考试数学(文)试卷
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意)
1．若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知幂函数 的图象过点 ，则函数 在区间
上的最小值是（ ）
A． B．0 C． D．
3．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数 f（x）= +x 的值域是（ ）
A．[ ，+∞） B．（﹣∞， ] C．（0，+∞） D．[1，+∞）
5．不等式 的解集为（ ）
A． B． C．
D．
6．已知 ， 或 ，则 p 是 q 的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数 恒过定点（ ）
A． B． C． D.
8．若函数 的定义域为实数集 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C．
D．
9．已知函数 f（x）的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当 x2＞x1＞1 时，[f（x2）﹣
{ |0 1}x x< <
( ){ }2| ln 1M x y x= = − { }| 2xN y y= = M N =
∅ M N
( ) af x x= 13, 3
( ) ( ) ( )2 1g x x f x= − 1 ,22
1− 2− 3
2
2020
1log πa =
20201
πb =
1
π2020c =
c a b< < a c b< < b a c< < a b c< <
( )2
2log 4 5 1x x− + <
(1,3) ( 3, 1)− − ( , 3) ( 1, )−∞ − − +∞
( ,1) (3, )−∞ +∞
1( ) 1xf x a += −
(1,1) (1, 1)− ( 1,0)− ( 1, 1)− −
2( ) 1f x x ax= + + R a
2 2（﹣，） 2 2∞ ∞∪ +（﹣ ，﹣）（ ， ） ] [2 2∞ ∞∪ +（﹣ ，﹣ ， ）
[ ]2 2﹣，
f（x1）]（x2﹣x1）＜0 恒成立，设 a＝f（ ），b＝f（2），c＝f（3），则 a、b、c 的大小
关系为（ ）
A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c
10．已知定义在 R 上的函数 满足： 且 ，
，则方程 在区间 上的所有实根之和为（ ）
A．14 B．12 C．11 D．7
11．已知 ， 是互不相同的正数，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12 ． 已 知 函 数 ； ；
； ，下面关于这四个函数奇
偶性的判断正确的是（ ）
A．都是偶函数
B．一个奇函数，三个偶函数
C．一个奇函数，两个偶函数，一个非奇非偶函数
D．一个奇函数，一个偶函数，两个非奇非偶函数
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)
13．命题 ：“若 ，则 成等比数列”，则命题 的否命题是（填“真”或“假”
之一）______.
命题．
14．某工厂甲、乙两个车间生产了同一种产品，数量分别为 60 件、40 件，现用分层抽样方
法抽取一个容量为 的样本进行质量检测，已知从甲车间抽取了 6 件产品，则 _____.
15．已知一组数据 的方差为 2，若数据 的方
差为 8，则 的值为______.
16．若关于 的方程 ， 有两个不相等实数根，则实数 的取值范
围是______.
1
2
−
( )f x
( ]
( ]
2
2
2, 1,0( ) 2, 0,1
x xf x x x
− − ∈ −= − ∈
( 2) ( )f x f x+ =
5 2( ) 2
xg x x
−= − ( ) ( )f x g x= [ ]3 7− ,
2
1 2
lg(1 )( )
2 2
xf x
x
−=
− − 2
1( ) ( 1) 1
xf x x x
+= − −
2
3 ( ) log ( 1)( 0, 1)af x x x a a= + + > ≠ 4
1 1( ) ( )2 1 2xf x x= +−
P ac b= a b c、 、 P
n n =
1 2, , nx x x， 1 2, , , ,( 0)nax b ax b ax b a >＋ ＋ ＋
a
x 1 2xa a− = ( )0, 1a a> ≠ a
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或步骤)
17. （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 已 知 命 题 关 于 的 不 等 式 的 解 集 是
，命题 函数 的定义域为 ，如果“ ”为真命题，“ ”
为假命题.求实数 的取值范围.
18．(本小题满分 12 分)已知全集 ，集合 ， ，
．
（1）求 ， ；
（2）如果 ，求实数 的取值范围．
19.（本小题满分 12 分）假设关于某种设备的使用年限 (年)与所支出的维修费用 (万元)
有如下统计资料：
已知 ，
(1)求 ， ；
(2) 与 具有线性相关关系，求出线性回归方程；
(3)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？
20．（本小题满分 12 分）已知函数 的定义域为 .
（1）求 ；
（2）当 时，求 的值域.
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
:p x ( )1 0, 1xa a a> > ≠
{ }0x x < :q ( )2lg 2 1y ax x= − + R p q∨ p q∧
a
U = R { }| 2 7A x x= ≤ < { }3| 0 log 2B x x= < <
{ }| 1C x a x a= < < +
A B ( )CU A B∩
A C∩ = ∅ a
x y
5
2
1
90i
i
x
=
=∑ 5
1
112.3i i
i
x y
=
=∑
( )( )
( )
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
a y bx= −
x y
x y
( ) 2 1ln 33 3
xxf x x
− = + − + M
M
x M∈ ( ) 1
224 2 1x xg x
+ += − +
21.（本小题满分 12 分已知 是定义在 上的偶函数，且 时，
.
（1）求 ， ；
（2）求函数 的解析式；
（3）若 ，求实数 的取值范围．
22.（本小题满分 12 分）
若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使
成立，则该函数为“依附函数”.
(1)判断函数 是否为“依附函数”，并说明理由；
(2)若函数 在定义域 上“依附函数”，求 的取值范围；
(3)已知函数 在定义域 上为“依附函数”.若存在实数
，使得对任意的 ，不等式 都成立，求实数 的最
大值.
( )f x R 0x ≤
1
2
( ) log ( 1)f x x= − +
(0)f (1)f
( )f x
( 1) 1f a − < − a
( )y f x= 1x 2x
( ) ( )1 2 1f x f x =
( ) sing x x=
( ) 12xf x −= [ ]( ), 0m n m > mn
( ) ( )2 4
3h x x a a = − ≥
4 ,43
4 ,43x ∈ t R∈ ( ) ( )2 4h x t s t x≥ − + − + s
高二年级文科数学答案
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B D A A A C D D C D C
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． 假 14． 10 15． 2 16．
三、解答题（10+12×5=70 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（10 分）（1)由题知 关于 的不等式 （ 且 ）的解集是 ，所
以： .(2 分）
函数 的定义域为 ，等价于 ， .
（i）当 时，不等式 在 上不恒成立；
（ii）当 时， ，解得 .
即 .（4 分）
如果 为真命题， 为假命题，则 真 假，或 假 真，（6 分）
若 真 假，则 ，可得 ；（8 分）
若 假 真，则 ，可得 .（10 分）
解得 或 .
所以，实数 的取值范围是 （10 分）
18．（12 分）
（1）由 0＜log3x＜2，得 1＜x＜9∴B=（1，9），（2 分）
10 2a< <
:p x 1xa > 0a > 1a ≠ { }0x x <
0 1a< <
:q ( )2lg 2 1y ax x= − + R x R∀ ∈ 2 2 1 0ax x− + >
0a = 2 1 0x− + > R
0a ≠ 0
2 4 0
a
a
>
∆ = − <
1
2a >
1: 2q a >
p q∨ p q∧ p q p q
p q
0 1
1
2
a
a
< < ≤
10 2a< ≤
p q
0 1
1
2
a a
a
≤ ≥ >
或
1a ≥
10 2a< ≤ 1a ≥
a [ )10, 1,2
∪ +∞
∵A={x|2≤x＜7}=[2，7），∴A∪B=（1，9）（4 分）
CUA=（﹣∞，2）∪[7，+∞），（6 分）
∴（CUA）∩B=（1，2）∪[7，9）（8 分）
（2）C={x|a＜x＜a+1}=（a，a+1）
∵A∩C= ，∴a+1≤2 或 a≥7，∴a≤1 或 a≥7（12 分）
19．（12 分）（1）(1) ＝4，
＝5.（4 分）
(2) ＝ ＝1.23，
＝ － ＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归方程为 ＝1.23x＋0.08.（8 分）
(3)当 x＝10 时， ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用年限为 10 年时，维修费用约为 12.38 万元。（12 分）
20．（12 分（1） ∴ ，所以 （4 分）
（2） （8 分） 所以当
，即 时， ，当 ，即 时， ，所以
的值域为 .（12 分）
21．（12 分）（Ⅰ）(1)因为当 x≤0 时，f(x)＝log (－x＋1)，
所以 f(0)＝0.
又因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，
所以 f(1)＝f(－1)＝log [－(－1)＋1]＝log 2＝－1，
即 f(1)＝－1.（2 分）
(2)令 x>0，则－x<0，
从而 f(－x)＝log (x＋1)＝f(x)，
∴x>0 时，f(x)＝log (x＋1)．
x
y
ˆb
5
1
5 2 2
1
5
5
i ii
ii
x y xy
x x
=
=
−
−
∑
∑
ˆa y ˆb x
ˆy
ˆy
2 0 3 23{ {1 13 03
x
x
xx
x
− ≥ − < ≤+ ⇒ > −− >
1 2x− < ≤ ( ]1 2M = − ，
( ) ( )1 22 224 2 1 2 2 4 2 1 2 2 1 1x x x x xg x
+ += − + = ⋅ − ⋅ + = − − 1 2x− < ≤
2 1x = 0x = ( )min 1g x = − 2 4x = 2x = ( )max 17g x = ( )g x
[ ]117− ，
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
∴函数 f(x)的解析式为 f(x)＝ （6 分）
(3)设 x1，x2 是任意两个值，且 x1－x2≥0，
∴1－x1>1－x2>0.
∵f(x2)－f(x1)＝log (－x2＋1)－log (－x1＋1)＝log >log 1＝0，
∴f(x2)>f(x1)，
∴f(x)＝log (－x＋1)在(－∞，0]上为增函数．（9 分）
又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∵f(a－1)<－1＝f(1)，
∴|a－1|>1，解得 a>2 或 a<0（12 分）
22．（12 分（1）
(1)对于函数 的定义域 内存在 ，则 ，无解.
故 不是“依附函数”；(2 分）
(2)因为 在 递增，故 ，
即 ， ，
由 ，故 ，得 ，
从而 在 上单调递增，故 ，（6 分）
(3)①若 ，故 在 上最小值为 0，此时不存在 ，舍去；（8
分）
②若 故 在 上单调递减，从而 ，
解得 （舍）或 .从而，存在 ，使得对任意的 ，（10 分）
1
2
1
2
1
2
1
2
( ) sing x x= R 1 6x
π= ( )2 2sin 2g x x= =
( ) sing x x=
( ) 12xf x −= [ ],m n ( ) ( ) 1f m f n =
1 12 2 1m n− − = 2m n+ =
0n m> > 2 0n m m= − > > 0 1m< <
( )2mn m m= − ( )0,1m∈ ( )0,1mn∈
4 43 a≤ < ( ) ( )2f x x a= − 4 ,43
2x
4a ≥ ( ) ( )2f x x a= − 4 ,43
( )4 4 13f f ⋅ =
1a = 13
3a = 4 ,43x ∈ t ∈R
有不等式 都成立，
即 恒成立，
由 ，得 ，
由 ，可得 ，
又 在 单调递减，
故当 时， ，
从而 ，解得 ，（12 分）
综上，故实数 的最大值为 .
( )2
213 43x t s t x − ≥ − + − +
2 2 26 133 03 9t xt x s x + + − + + ≥
2 2 26 1334 03 9x x s x
∆ = − − + + ≤
2 532
9
264 33s x x + ≤ +
4 ,43x ∈
26 5324 33 9s x x
+ ≤ +
5323 9y x x
= + 4 ,43x ∈
4
3x =
max
532 1453 9 3x x
+ =
26 1454 3 3s + ≤
41
12s ≤
s 41
12