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- 2021-04-17 发布
第一部分 专题一 第二讲
A组
1．(2017·全国卷Ⅱ，1)＝( D )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
[解析] ＝＝＝2－i．
故选D．
2．(文)(2017·石家庄一模)已知i为虚数单位，则复数＝( C )
A．2＋i B．2－i
C．－1－2i D．－1＋2i
[解析] ＝＝－1－2i，故选C．
(理)(2017·甘肃兰州三诊)若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a、b∈R，则|a＋bi|＝( C )
A．＋i B．
C． D．
[解析] ∵(1＋2ai)i＝－2a＋i＝1－bi，
∴a＝－，b＝－1，
∴|a＋bi|＝|－－i |＝＝．
3．(文)(2017·合肥高三第一次质检)执行如下程序框图，则输出结果为( C )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 依次执行框图中的语句：n＝1，S＝0，T＝20；
T＝10，S＝1，n＝2；T＝5，S＝3，n＝3；T＝，S＝6，n＝4，跳出循环，输出的n＝4，故选C．
(理)执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( D )
A．3 B．－6
C．10 D．－15
[解析] 程序运行过程为：i＝1，S＝0→S＝0－12＝－1，i＝2→S＝－1＋22，i＝3，由于判断条件i<6，∴当i＝5时，执行最后一次后输出S的值，∴S＝－1＋22－32＋42－52＝－15．
4．(2017·陕西质检)设向量a，b满足|a＋b|＝，a·b＝4，则|a－b|＝( C )
A． B．2
C．2 D．
[解析] 向量的数量积．∵|a＋b|＝，a·b＝4，
∴|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝16，∴|a－b|＝2，故选C．
5．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( B )
A． B．
C．2 D．10
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，
∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝．
6．下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是( D )
A．k＝8? B．k≤7?
C．k<7? D．k>7?
[解析] 开始→k＝10，S＝1，满足条件→S＝1＋10＝11，k＝10－1＝9，满足条件→S＝11＋9＝20，k＝9－1＝8，满足条件→S＝20＋8＝28，k＝8－1＝7.由于输出S的值为28，故k＝7不再满足条件，故选D．
7．(文)(2017·哈三中一模)若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为( B )
A． B．－
C．i D．－i
[解析] ＝＝的实部为，虚部为－，其积为－，故选B．
(理)(2017·衡水中学模拟)设a∈R，i是虚数单位，则“a＝1”是“为纯虚数”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
[解析] 若＝＝＋为纯虚数，则a＝±1，若a＝1，则为纯虚数，∴选A．
8．设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则＋＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 如图，
＋＝－(＋)－(＋)
＝－(＋)＝(＋)＝．
选A．
9．(2017·河北高三联考)如图是一个程序框图，则输出的n的值是( D )
A．29 B．31
C．61 D．63
[解析] 由程序框图可知，p＝9，n＝3；p＝15，n＝7；p＝23，n＝15；p＝31，n＝31，n＝63，则log3163>1，循环结束，故n＝63，选D．
10．(2017·葫芦岛一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为( C )
A．201 B．411
C．465 D．565
[解析] 200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)·(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465．
11．(2016·北京卷，9)设a∈R，若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝__－1__.
[解析] (1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，所以a＋1＝0，a＝－1．
12．若OA为边，OB为对角线的矩形中，＝(－3,1)，＝(－2，k)，则实数k＝__4__.
[解析] ∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，
∴＝－＝(1，k－1)．
由题意知⊥，∴·＝0，
即(－3,1)·(1，k－1)＝0．
∴－3＋k－1＝0，∴k＝4．
13．执行如图所示的程序框图，输出的S的值是__－1－__.
[解析] 由程序框图可知，n＝1，S＝0；S＝cos，n＝2；S＝cos＋cos，n＝3；…；n＝2 015，S＝cos＋cos＋cos＋…＋cos＝251(cos＋cos＋…＋cos)＋cos＋cos＋…＋cos＝251×0＋＋0＋(－)＋(－1)＋(－)＋0＝－1－，n＝2 105，输出S．
14．(2017·合肥质检)已知等边△ABC的边长为2，若＝3，＝，则·＝__－2__.
[解析] 如图所示，·＝(－)·(＋)＝(－)·(＋－)＝(－)·(＋)＝2－2＝×4－×4＝－2．
15．如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有__S2＝S＋S＋S__.
[解析] 建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质，所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S＋S＋S．
B组
1．设复数z1＝1＋i，z2＝2＋bi，若为实数，则实数b等于( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析] ＝＝
＝，
若其为实数，则有＝0，解得b＝2．
2．(文)(2016·石景山检测)已知复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i，若z是纯虚数，则实数a等于( B )
A．2 B．1
C．0 D．－1
[解析] ∵z为纯虚数，∴∴a＝1．
(理)已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋i，若z1·z2为纯虚数，则实数a的值为( B )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[解析] ∵z1·z2＝(a－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
∴，∴a＝1．
3．(2017·山东卷，6)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( B )
A．x>3 B．x>4
C．x≤4 D．x≤5
[解析] 输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x>4，故选B．
4．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0，
∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C．
(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 解法一：由条件可知，a·b＝0，|b|＝|a|，则cosθ＝＝－⇒θ＝．
解法二：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为．
5．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|等于( B )
A． B．1
C． D．2
[解析] ∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1．
6．(2016·北京卷)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝＝－，k＝1；第二次循环，a＝＝－2，k＝2；第三次循环，a＝＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B．
7．(2017·武汉模拟)如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，
则＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋(－)＋…(－)＝1－＝．
故选C．
8．(2016·全国卷Ⅱ，8)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s＝( C )
A．7 B．12
C．17 D．34
[解析] 由程序框图知，
第一次循环：x＝2，n＝2，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；
第二次循环：a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；
第三次循环：a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3.结束循环，输出s的值为17，故选C．
9．(2017·大连模拟)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为__－1__.
[解析] ∵z＝1－i(i为虚数单位)，
∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i，故其虚部为－1．
10．(文)(2017·厦门联考)刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”
乙说：“我们四人中有人考得好．”
丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”
丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的__乙丙__.两人说对了．
[解析] 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
(理)(2017·湖北七市联考)观察下列等式：
1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；
1＋3＋6＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)；
1＋4＋10＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)；
……
可以推测，1＋5＋15＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝__n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)__．
[解析] 根据式子中的规律可知，等式右侧为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)
＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)(n∈N*)
11．(2017·济南一模)公元约263年，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限接近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为__24__.
(参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305)
[解析] 由程序框图得第一次循环，n＝6，S＝3sin 60°≈2.598<3.10；第二次循环，n＝12，S＝6sin 30°＝3<3.10；第三次循环，n＝24，S＝12sin 15°≈3.105 6>3.10，此时循环结束，输出n的值为24．
12．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是__(－1,0)__.
[解析] 根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t．
∵D在圆外，∴t<－1，
又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，
∴tm＋tn＝λ＋μ，
∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0)．