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- 2021-04-16 发布
2017-2018 学年甘肃省高台县第一中学下学期期中考试
高二文科数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
测试范围：人教选修 1-1、1-2、4-4、4-5
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．已知点 A 的极坐标为 5π(2, )6
，则点 A 的直角坐标为
A． (1, 3) B． ( 1, 3) C． ( 3, 1)
D． ( 3,1)
2．已知i 为复数单位，则在复平面内复数 2
1 i
对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四
象限
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时，要做的假设是
A．假设三角形的内角中至少有一个钝角 B．假设三角形的内角中至少有两个
钝角
C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个
钝角
4．设 m ， n均为非零的平面向量，则“存在负数 ，使得 m n ”是“ 0 m n ”的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知曲线 3 2( ) 2f x x ax 在点 (1, (1))f 处的切线的倾斜角为 3
4
，则实数 a
A． 2 B． 1 C． 2 D．3
6．已知命题 0:p x R ， 0
5sin 2x ；命题 :q x R ， 2 1 0x x ．则下列结论正
确的是
A． p 是真命题 B． p q 是假命题 C． p q 是真命题
D． p q 是真命题
7．《九章算术》中的玉石问题：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，
中有玉，并一十一斤，问玉、石各重几何？（斤、两：我国传统的质量单位，古代一斤
等于 16 两；寸：我国传统的长度单位）其意思为：宝玉 1 立方寸重 7 两，石料 1 立方寸
重 6 两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是 3 寸，质量是 11 斤，问这个
正方体中的宝玉和石料各多少两？如图所示的程序框图给出了此问题的一个求解算法，
运行该程序框图，则输出的 ,x y 分别为
A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102，
74
8．已知点 ( 2,0)A 和点 (2,0)B ，若动点 ( , )P x y 在直线 : 3l y x 上移动，椭圆C 以 A ，
B 为焦点且经过点 P ，则椭圆 C 的离心率的最大值为
A． 26
13
B． 2 26
13
C． 2 13
13
D． 4 13
13
9．若函数 sin( ) cos
a xf x x
在区间 π π[ , ]6 3
上单调递增，则实数 a 的取值范围为
A． ( ,2) B． ( 1,2] C．[2, )
D． (2, )
10．已知双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
( 0, 0)a b 的两条渐近线与抛物线 2: 2 ( 0)y px p
的准线分别交于 A ， B 两点．若双曲线C 的离心率为 2 ， ABO△ 的面积为 2 3 ，O
为坐标原点，则抛物线 的焦点坐标为
A． ( 2,0) B． ( 2 ,02 ) C． (1,0)
D． (1 ,02 )
11 ． 已 知 大 于 1 的 正 整 数 的 三 次 幂 可 以 分 解 成 几 个 奇 数 的 和 ， 比 如 32 3 5 ，
33 7 9 11 ， 34 13 15 17 19 ，…，以此规律可知 345 分解后，和式中一定不
含有
A． 2069 B． 2039 C． 2009
D．1979
12．若存在正实数 , ,x y z ，使得 e
2
z xy
z
，且 2e
x z x ，则 ln y
x
的取值范围是
A． 1[1 ln2, ]2
B．[1 ln2,e 1 ln2] C．[ ln2,e 1 ln2]
D． 1[ ,1]2
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知i 为复数单位，若复数 z 的共轭复数 z 满足 (1 i) 3 iz ，则| |z ______________．
14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5次试验，收
集到的数据如下表，由最小二乘法求得线性回归方程为 0 67 54 9ˆy x ． ．，则下表中污
损的数据为______________．
零件数 x （个） 10 20 30 40 50
加工时间 y （分
钟）
62 75 81 89
15．已知曲线 2 cos: sin
xC y
( 为参数)，直线 1 3: 2 4
x tl y t
(t 为参数)，若直线l 与曲
线C 交于 A ， B 两点，则| |AB ______________．
16．某学校建议同学们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四
位同学被问及情况．甲说：我没去；乙说：丁去了；丙说：乙去了；丁说：我没去．若
这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，且只有一位同学说了假话，则去幸福广场的
这位同学是______________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 10 分）
已知函数 ( ) | 2 | | |,f x x a x a R ．
（1）当 3a 时，求不等式 ( ) 3 0f x 的解集；
（2）若不等式 ( ) 1f x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
现有一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为 x 的小正方形，然后做成
一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V 表示为 x 的函数；
（2）当 x 为何值时，方盒的容积V 最大？并求出方盒的容积的最大值．
19．（本小题满分 12 分）
已知曲线 1C 的参数方程为
2
2
x t
y t
（ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 cos sin 1 ．
（1）求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；
（2）设 (1,0)F ，曲线 2C 与曲线 1C 交于不同的两点 A ， B ，求| | | |AF BF 的值．
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) (2 )( 2)f x x x ．
（1）求函数 ( )f x 的单调区间（用开区间表示）；
（2）求函数 ( )f x 在区间 3[ 5, ]2
上的最大值与最小值．
21．（本小题满分 12 分）
2018 年为我国改革开放 40 周年，某事业单位共有职工 600 人，其年龄与人数分布表
如下：
年龄段 [22,35) [35,45) [45,55) [55,59]
人数（单位：
人） 180 180 160 80
若定义 45 岁至 59岁的为中年人，其余的为青年人，现按分层抽样抽取30人作为某庆
祝晚会的观众．
（1）若抽出的青年观众与中年观众中分别有12 人和5人不热衷关心民生大事，其余人
热衷关心民生大事．请将下面的 2 2 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为
年龄层与是否热衷关心民生大事有关？
热衷关心民生大事
不热衷关心民生大
事
总计
青年观众 12
中年观众 5
总计 30
（2）在（1）的条件下，热衷关心民生大事的青年观众中有 1 人擅长歌舞，有 3 人擅长
乐器，现从热衷关心民生大事的青年观众中随机抽取 2 人上台进行才艺表演，求抽出的
2 人能胜任才艺表演的概率．
参考公式及数据：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n a b c d ．
2
0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22．（本小题满分 12 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x y a ba b
的离心率为 2
2
， 1 2,F F 是椭圆 的两个焦点，A
为椭圆 上一点，且 1 2 3F AF ， 1 2F AF△ 的面积为 3
3
．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 (0,1)P ，直线l 不经过点 P 且与椭圆交于 ,B C 两点，若直线 PB 与直线 PC 的
斜率之和为1，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
高二文科数学·参考答案
13． 14． 68 15． 16．乙
21．（本小题满分 12 分）
【答案】（1）列联表见解析，没有 90% 的把握认为年龄层与是否热衷关心民生大事有关；
（2）
【解析】（1）由题可得抽出的青年观众有 18 人，中年观众有 12 人，
所以没有 90% 的把握认为年龄层与是否热衷关心民生大事有关．（6
分）
（2）热衷关心民生大事的青年观众有 6 人，记这 6 人分别为 A，
B，C，D，a，b，其中 A 表示擅长歌舞的青年观众，B，C，D 表
示擅长乐器的青年观众，
从这 6 人中随机抽取 2 人，有 AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，
Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共 15 种情况，（9 分）
其中能胜任才艺表演的有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 种
情况，（10 分）
故所求概率 P= = = （12 分）