2018-2019学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 11页

江苏省常州市“教学研究合作联盟” 2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 注意事项 ‎1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟。‎ ‎2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。‎ ‎3．答题时，必须用毫米黑色签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。‎ ‎4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。‎ ‎5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液及可擦写的圆珠笔。‎ 一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.若复数满足（为虚数单位），则复数的实部是 ▲ ． ‎ ‎2.已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么 ▲ ． ‎ ‎3.若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复 平面内对应的点位于第 ▲ 象限.‎ ‎4.设,是两个不共线的空间向量，若，，‎ ‎，且三点共线，则实数的值为 ▲ ．‎ ‎5.若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取 值范围为 ▲ ．‎ ‎6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，‎ 用反证法研究该猜想，应假设的内容是 ▲ ．‎ ‎7.如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段 上一点，且，若，则的值为 ‎ ▲ ． ‎ ‎8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列 的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项 积公式 ▲ ．‎ ‎9.用数学归纳法证明等式：，则从到 时左边应添加的项为 ▲ ．‎ ‎10.如图，在直三棱柱中，，，‎ 点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则 的长为 ▲ ．‎ ‎11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子 为﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第 行的左起第个数为 ▲ ．‎ ‎ ‎ ‎（第7题图） （第10题图） （第11题图）‎ ‎12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称 之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，‎ ‎ ‎ ‎，为的中点，则点到平面的距离为 ‎ ▲ ．‎ 13. 如图，已知正三棱柱中，，分别为 的中点，点在直线上且满足若平面 与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为 ‎ ▲ ．‎ 14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方(由27个全等的棱长为1的小正方体构 成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面 最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，‎ 则线段长度的最小值为 ▲ ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（第12题图） （第13题图） （第14题图） ‎ 二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.‎ 15. ‎(本小题满分14分）‎ 已知为虚数单位，复数,.‎ （1） 若为实数，求的值；‎ （2） 若为纯虚数，求.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 已知矩阵 ， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，‎ 求的方程.‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 已知数列满足，，，‎ ‎（1）求的值并猜想数列的通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为 直角梯形，，，点,分 别是,的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若点为棱上一点，且平面平面，‎ ‎ 求证：‎ ‎19.（本小题满分16分）‎ 如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.‎ ‎（1）当点是的中点时，‎ ‎ ①求异面直线和所成角的余弦值；‎ ‎ ②求二面角的正弦值；‎ ‎（2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与 ‎ 平面所成角的正弦值的取值范围.‎ ‎ （第18题图） （第19题图）‎ ‎20.（本小题满分16分）‎ ‎（1）是否存在实数，，，使得等式 ‎ 对于一切正整数都成立？若存在，‎ 求出，，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎（2）求证：对任意的，.‎ 常州市“教学研究合作联盟”‎ ‎2018学年度第二学期期中质量调研 高二 数学（理科）参考答案和评分标准 ‎ 一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ 1. ‎ 1 2. 3.四 4. 4或-1 5. 且 6. 存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 7. 8. ‎ ‎9. 10. 1 11. ‎ 12. ‎ 13. 14. ‎ 二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.‎ ‎15.解：（1）因为，若为实数，则. ……… 3分 ‎ 此时，所以 ……… 7分 ‎（2）因为， ……… 10分 若为纯虚数，则，得，……… 12分 ‎ 所以 ……… 14分 ‎16.解：（1） = ……… 6分 ‎（2）设曲线上任一点坐标为在矩阵对应的变换作用下得到点则 ‎ =，即，解得.……… 10分 因为所以整理得，所以的方程为……… 14分 ‎17.解：（1）由①‎ 得解得或 又所以 将代入①，可得或 又所以 将代入①，可得或 又所以……… 3分 故猜想数列的通项公式为……… 5分 ‎（2） ①当时，，猜想成立.‎ ②假设当时，猜想成立，即……… 7分 则当时，由①得 即 即 即 即 即 解得或……… 12分 又所以故当时，猜想成立.‎ 综上：由①②得.……… 14分 ‎18.解：平面，平面 平面，平面 又因为所以，则两两 垂直，则以为正交基底，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系 则各点的坐标为 因为点分别是，的中点，所以 ……… 2分 ‎（1）证明：设平面的一个法向量为 因为 由 得，令所以 则……… 5分 因为所以 ‎ 又平面所以平面.……… 8分 ‎（注：平面没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取的中点证明平面平面，或者延长和相交于点然后证明也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）‎ ‎（2）证明：因为为棱上一点，所以 设则，所以 即所以 设平面的一个法向量为则 所以消去可得 令则所以……… 12分 平面平面则所以…… 14分 从而因为所以 则即……… 16分 19. 解：（1）取的中点为建立如图所示的空间直角坐标系，则 当是的中点时，则 ①‎ 设异面直线和所成角为则 ‎=‎ ‎……… 4分 ②设平面的一个法向量为则 所以令则… 5分 设平面的一个法向量为则 令……… 6分 设二面角的平面角为，‎ 则……… 8分 所以……… 9分 ‎（2）当在上运动时，设 设 则 设直线与平面所成的角为则 ‎……… 11分 设设所以 设 直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为 ‎……… 16分 19. 解：（1）在等式中 令得①；令得②；‎ 令得③；由①②③解得 对于都有 成立. ……… 3分 下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.‎ ①当时，由上所述知式成立；‎ ②假设当时式成立，即 ‎， ‎ 那么当时，‎ ‎……… 5分 综上：由①②得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等 式对于一切正整数都成立.……… 8分 ‎ （2） 证明：‎ ①当时，左式，右式，所以左式<右式，则时不等式成立；‎ ②假设当时不等式成立，即 ‎，‎ 那么当时，‎ ‎……… 10分 下面证明当时，.‎ 设，则所以在 上单调增，所以即时，.‎ 因为，所以则 ‎ ‎……… 12分 因为 所以 由得 那么时不等式也成立.‎ 综上：由①②可得对任意.‎ ‎……… 16分