2018届二轮复习 圆锥曲线的综合问题 课件（全国通用） 44页

第 3 讲　圆锥曲线的综合问题 高考定位　 圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等 ， 一般试题难度较大 . 这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体 ， 以参数处理为核心 ， 需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解 ， 对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求 . 真 题 感 悟 (2) 由 (1) 知 F 1 ( － 1 ， 0) ， F 2 (1 ， 0) ，又直线 AF 1 与 BF 2 平行，所以可设直线 AF 1 的方程为 x ＋ 1 ＝ my ，直线 BF 2 的方程为 x － 1 ＝ my . 考 点 整 合 1. 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点 . 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 . 3. 求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系 . 该问题主要有以下三种情况： (1) 距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解 . (2) 斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系 . (3) 面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解 . 探究提高 　 如果要解决的问题是一个定点问题 ， 而题设条件又没有给出这个定点 ， 那么 ， 我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立 ， 那么我们根据特殊情况先找到这个定点 ， 明确解决问题的目标 ， 然后进行推理探究 ， 这种先根据特殊情况确定定点 ， 再进行一般性证明的方法就是由特殊到一般的方法 . 探究提高 　 定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定 “ 定值 ” 是多少 ， 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题 ， 证明该式是恒定的 . 定值问题同证明问题类似 ， 在求定值之前已知该值的结果 ， 因此求解时应设参数 ， 运用推理 ， 到最后必定参数统消 ， 定值显现 . 探究提高 　 (1) 处理求最值的式子常用两种方式： ① 转化为函数图象的最值； ② 转化为能利用基本不等式求最值的形式 .(2) 若得到的函数式是分式形式 ， 函数式的分子次数不低于分母时 ， 可利用分离法求最值；若分子次数低于分母 ， 则可分子、分母同除分子 ， 利用基本不等式求最值 ( 注意出现复杂的式子时可用换元法 ). 探究提高 　 解决范围问题的常用方法： (1) 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系 ， 构建以待求量为元的不等式求解 . (2) 构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数 ， 再求其值域 . (3) 数形结合法：利用待求量的几何意义 ， 确定出极端位置后数形结合求解 . 1. 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握： (1) 从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关： (2) 直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3) 在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标 . 2. 圆锥曲线的范围问题的常见求法 (1) 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2) 代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： ① 利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ② 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③ 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④ 利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤ 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围 .