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- 2021-04-16 发布
江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. 0或2 D. 1
2.函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5.函数 的零点所在区间是
A. B. C. D.
6.已知函数 与函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.已知关于 的方程 的两个实根为 满足 则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D. 5
9.已知函数 ，关于 的性质，有以下四个推断：
① 的定义域是 ； ② 与 的值域相同；
③ 是奇函数； ④ 是区间 上的增函数.
其中推断正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.性质① ；②在 对任意 ，都有 .下列函数中，性质①②均满足的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数 的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
12.已知一次函数 满足条件 ，则函数 的解析式为 ________.
13.函数 的图象恒过定点 ， 在幂函数 的图象上，则 ________.
14.已知函数 在 上单调递増，则 的取值范围是________.
15.若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数 的取值范围是________.
三、解答题
16.计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
17.已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求实数 的取值范围.
18.某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）.
（1）求函数 的解析式及定义域；
（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？
19.已知函数 ， ， .
（1）当 时，求使 的函数值为0的自变量的值；
（2）若 时，求 的最小值.
20.已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有 .
（1）求实数 的值；
（2）求函数 在区间 上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于 的不等式 .
21.设函数 .
（1）当 时，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 为常数，且函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 .
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系得到实数m的值.
2.【答案】 D
【考点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使原函数有意义，则 ，解得 ，
原函数的定义域为 ， ．
故答案为： ．
【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足 ，解出 的范围即可．
3.【答案】 A
【考点】函数的值
【解析】【解答】 满足 ，
∵f（1） ．
故答案为： ．
【分析】由 满足 ，利用 （1） ，能求出结果
4.【答案】 A
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得 ， ， 的大小关系．
5.【答案】 C
【考点】函数零点的判定定理
【解析】【解答】 在 上为增函数，
且 ， ， ，
，
的零点所在区间为 ．
故答案为：C．
【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．
6.【答案】 B
【考点】函数奇偶性的性质
【解析】【解答】根据题意， ，则 ，
又由函数 与函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，
则 ，
故 （1） （1） ；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由函数的解析式可得 ，结合函数的奇偶性可得 （1）
（1），即可得答案．
7.【答案】 D
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】设 ,
根据二次方程实根分布可列式: ,即 ,
即 ,解得: .
故答案为：D.
【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.
8.【答案】 A
【考点】函数的值
【解析】【解答】 ，
，
，
故答案为：A.
【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值
9.【答案】 C
【考点】函数的定义域及其求法，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断
【解析】【解答】根据题意，依次分析4个推断，
对于①，函数 ，定义域是 ，所以①正确；
对于②， 的图象向右平移一个单位得到 的图象，两者的值域相同，所以②正确；
对于③， ， ，则 为奇函数，所以③正确；
对于④， ，则 （1） ， ，有 （1） ，故 在区间 上不是增函数，
则4个推断中有3个是正确的；
故答案为： ．
【分析】对于①，求函数的定义域再判断；对于②，利用图象变换分析判断得解；对于③，利用函数的奇偶性判断；对于④，举出反例即可判断得解
10.【答案】 D
【考点】函数奇偶性的判断
【解析】【解答】根据①知 在 上为偶函数，根据②知 在 上为减函数，
选项 的函数为非奇非偶函数， 错误；
选项 的函数为奇函数， 错误；
选项 的函数的定义域是 ，不是 ， 错误；
排除选项 ， ， ， 正确．
故答案为： ．
【分析】根据①可知 在 上为偶函数，选项 不是偶函数，选项 不是偶函数，选项 的定义域不是 ，从而排除选项 ， ， ，从而只能选 ．
二、填空题
11.【答案】 A
【考点】复合函数的单调性，二次函数的性质
【解析】【解答】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，
由二次函数的性质和复合函数的单调性可得
函数 的单调递增区间为：（-∞，1）
故答案为：A．
【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．
12.【答案】
【考点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】设 ， ，
，
，
即 ，
，
解可得， ， ，
故答案为：
【分析】先设 ， ，然后根据 ，代入后根据对应系数相等可求 ， ，即可求解．
13.【答案】
【考点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】令 ，
所以 ，
即 ；
设 ，则 ， ；
所以 ，
故答案为： ．
【分析】先求出点P的坐标，再代入幂函数 的解析式求得 ，即可得 （9）．
14.【答案】
【考点】函数单调性的性质
【解析】【解答】由已知得反比例函数 在 上单调递增，需 ，
二次函数 在 上单调递增，则需对称轴 ，所以 ，
同时当 时， ，解得 ，
所以 ，
故填： 。
【分析】先确定二次函数 在 上单调递增，需 和反比例函数在上 单调递增，需 ，与此同时还需满足当 时，二次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，从而得出 的取值范围。
15.【答案】
【考点】函数的图象
【解析】【解答】当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ， ，
若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数 ， 与 ， ，只有一个交点，
作出两个函数的图象如图：
若 ，则 ， 与 ， ，只有一个交点，满足条件，
当 时， ，
若 ，要使两个函数只有一个交点，
则满足 ，
即 得 ，得 或 ，
， ，
综上 或 ，
即实数 的取值范围是 ， ， ，
故答案为： ， ， ，
【分析】根据原点对称的性质，求出当 时函数关于原点对称的函数，条件转化函数 ， 与 ， ，只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．
三、解答题
16.【答案】 （1）解：原式
（2）解：原式
．
【考点】有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出．
17.【答案】 （1）解： ， ，
（2）解： ，且 ，
或 ，解得 ，
实数 的取值范围为 ．
【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算
【解析】【分析】（1）可以求出集合 ， ，然后进行并集的运算即可；（2）根据 即可得出 或 ，从而解出 的范围即可．
18.【答案】 （1）解：当 时， ，令 ，解得 ．
， ， ，且 ．
当 时，
综上可知
（2）解：当 ，且 时， 是增函数，
当 时， 元．
当 ， 时， ，
当 时， 元．
综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．
【考点】分段函数的应用
【解析】【分析】（1）函数 出租自行车的总收入 管理费；当 时，全部租出；当 时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；（2）由于函数解析式是分段函数，所以先在每一段内求出函数最大值，再比较得出函数的最大值．
19.【答案】 （1）解： ，
， ，
（2）解： ， ， ，
设 ， ，
当 时， （2） ；
当 时， ，
当 时， ，
综上： ．
【考点】二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）解方程 得解；（2）换元后，化为一元二次函数在闭区间上的最小值问题，按照对称轴位于区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可．
20.【答案】 （1）解： 函数 是定义在 上的奇函数，
，即 ， ，
又因为 （2） ，所以 （2） ，
即 ，所以 ，
综上可知 ， .经检验满足题意.
（2）解：由（1）可知当 时， ，
当 时， ，且函数 是奇函数，
，
当 时，函数 的解析式为 ，
任取 ， ，且 ，则 ，
， ，且 ，
， ， ，
于是 ，即 ，
故 在区间 上是单调增函数
（3）解： 是定义在 上的奇函数，且 ，
，且 在 上是增函数，
，解得 ，
原不等式的解集为 ．
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质
【解析】【分析】（1）根据 是定义在 上的奇函数及 时的 解析式即可得出 ，并可求出 ，从而可得出 ，求出 ；（2）根据上面知， 时， ，从而可设 ，从而得出 ，从而得出 时， ，再根据函数单调性的定义即可判断 在 上的单调性.（3）不等式等价于 ，即 ，解不等式组即得解.
21.【答案】 （1）解：当 时，若不等式 在 ， 上恒成立；
当 时，不等式恒成立，则 ；
当 ，则 在 ， 上恒成立，
即 在 ， 上恒成立，
因为 在 ， 上单调增， ， ，
则 ，解得， ；
则实数 的取值范围为 ， ；
（2）解：函数 在 ， 上存在零点，即方程 在 ， 上有解；
设
当 时，则 ， ， ，且 在 ， 上单调递增，
所以 ， （2） ，
则当 时，原方程有解，则 ；
当 时， ，
则 在 ， 上单调增，在 上单调减，在 ， 上单调增；
①当 ，即 时， （2） ， ，
则当 时，原方程有解，则 ；
②当 ，即 时， ， ，
则当 时，原方程有解，则 ；
③当 时， ， ，
当 ，即 时， ，
则当 时，原方程有解，则 ；
当 ，即 时， ，
则当 时，原方程有解，则 ；
综上，当 时，实数 的取值范围为 ， ；
当 时，实数 的取值范围为 ；
当 时，实数 的取值范围为 ， ．
【考点】函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）当 时，不等式恒成立，当 ，由条件可得 在 ， 上恒成立，进一步得到 ，求出 的范围即可；（2）函数 在 ， 上存在零点，即方程 在 ， 上有解，设 ，然后分 和 两种情况求出 的范围．