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- 2021-04-16 发布
“三省十校”联考
2017-2018学年第二学期高三数学（文科）试题
（考试时间：150分钟 总分：150分）
第I卷（选择题 共60分）
三、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，则
A. B. C. D. 或
2．已知（为虚数单位），则复数的虚部为
A. B. 1 C. D. 2
3．下列判断正确的是
A. “”是“”的充要条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 若为假命题，则均为假命题
D. 是的充分不必要条件
4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了
A. 24里 B. 48里 C. 96里 D.192里
5.已知抛物线 上点到其焦点的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
6. 平面向量与的夹角为，则
A. B. C. D.
7. 已知，满足约束条件，则的最大值是
A．3 B．4 C.5 D．6
（4） 已知[x]表示不超过x的最大整数。执行如图所示的程序框图，
若输入x的值为3，则输出z的值为
A. B. C. D.
9. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥体积
A. B. C. D.
2
1
侧视图
正视图
2
1
俯视图
10. 一只蚂蚁在上下底分别为4、8，高为4的直角梯形面内爬行，某时间该蚂蚁距离梯形的四个顶点的距离均超过1的概率为
A. B. C. D.
11.过椭圆的右顶点且斜率为的直线与圆交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
12.对于函数和，设， ，若存在，使得，则称与互为“闺蜜函数”．若函数与互为“闺蜜函数”，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13. 已知直线平分圆的周长，则的最小值为 ．
14. 已知， ，则__________．
15.已知三点都在表面积为的球的表面上，若，则球心到平面的距离为 ．
16. 已知数列各项均为正项，其前项和为，且，若对，使不等式恒成立，则实数的取值范围是_________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17. （本小题满分12分）已知．
（1）求在上的增区间；
（2）已知， ， 分别为内角、、的对边， ， ，且，求边的长.
18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中， 底面，底面为矩形， ， .
(1)求证： 平面；
(2)求点平面的距离.
19.（本小题满分12分）某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间满足关系式为大于的常数），现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
尺寸（mm)
38
48
58
68
78
88
质量
16.8
18.8
20.7
22.4
24
25.5
对数据作了处理，相关统计量的值如下表：
75.3
24.6
18.3
101.4
（1）根据所给数据，求关于的回归方程（提示：可化为）；
（2）按照国家某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品再任选2件，求恰好取得1件优等品的概率．
（附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为 ）
20. （本小题满分12分）已知椭圆： （）的下顶点到左顶点的距离为，右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在轴上是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分12分）已知函数．
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当时，若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。
（本小题满分10分）【选修：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，圆的参数方程为,以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的普通方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长．
．（本小题满分10分）【选修：不等式选讲】
已知函数的最大值为
（1）求实数的值；
（2）若求的最小值．
“三省十校”联考2017-2018学年第二学期
高三数学（文科）试题参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
D
A
A
C
D
B
C
A
C
二、填空题：13. 9 ； 14. ； 15.； 16.
三、解答题
17. 解：（1）------------------------------1分
-------------------------------------3分
∵∴当时，即，----------------5分
∴的增区间为．---------------------------6分
（2）由（1）得，
∴， ， 且是三角形内角
∴------------------------------------8分
又∵，∴---------------------------9分
∵由正弦定理，得-----------------------12分
18. 证明
（1）∵面， 面，
∴，----------------------------1分
∵， ，
∴面，------------------------3分
∵面，
∴，----------------------------4分
∵， ，------------5分
∴面----------------------------------6分
(2)过作，垂足为，则，-----------------7分
∵面，
F
D
E
A
P
B
C
∴面，---------------------8分
在中， ， ，
∴，∴，----------9分
在中， ，∴，
∴，----------------10分
∵，
∴.--------------------11分
设B到平面CDE的距离为h, 得-------------------------------12分
19.解：(1)对，两边取自然对数得，
令，得，---------------2分
， ，---------4分
得，--------------------5分
故所求回归方程为.---------------6分
37. 由，解得，-------------7分
，即优等品有3件.---------------------8分
记“恰好取得1件优等品”为事件,从件合格品中选出2件的方法数为，（可画树状图表示）----------------------10分
从件合格品取2件恰好1件为优等品的取法有种，-----------------11分
则.-----------------12分
20. （1）由已知可得，-----------1分
得， ， -------------------2分
．----------------4分
（2）设， ，设，联立
得，则， ．-----------6分
又，
．----------8分
假设存在点，则， ，
所以
，----------------9分
要使得（为常数），只要，
从而，整理解得，从而， --------------11分
故存在定点．---------------12分
21. 解：（1）当时，；得----------1分
则，----------------3分
所以切线方程为，即为．--------------------4分
（2），
令，则
当，时，，函数在上单调递增，无极值点；----------5分
（1） 当且，时，由得------------------6分
（2） 当变化时，与的变化情况如下表：
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
当时，函数有两个极值点，则，-------7分
，由可得，------8分
，-----------9分
令
因为，所以，
，即在递减，------------------10分
即有，-----------------11分
所以实数的取值范围为---------12分
解圆的参数方程为
圆的普通方程为------------------4分
化圆的普通方程为极坐标方程得--------------------5分
设,则由解得，---------------6分
设,则由解得，---------------7分
----------------------10分
.解：由
当且仅当且当时取等号，此时取最大值，即
由及可知，
则
当且仅当即时取等号
的最小值为