广西柳州高级中学2019-2020学年高二寒假第二次线上测试数学（理）试题 13页

柳州高中2018级寒假测试数学理科试题（二）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．复数z满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知为任意角，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 ‎3．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎4．若=，=2，且（），则与的夹角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（ ）‎ A．‎1‎‎5‎ B．‎2‎‎5‎ C．‎3‎‎5‎ D．‎‎4‎‎5‎ ‎6．下列命题：‎ ‎①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；‎ ‎②在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；‎ ‎③设随机变量服从正态分布，若，则；‎ ‎④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大.其中正确的命题序号是（ ）‎ A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④‎ ‎7．在的展开式中，的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某单位安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值一天，其中甲、乙二人安排在相邻两天，并且甲只能在双日值班，则不同的安排方法有（ ）‎ A．120种 B．240种 C．360种 D．720种 ‎10．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知是函数图象上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎12．若函数在区间上有两个极值点，则的可能取值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为__________.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎14．若等差数列和等比数列满足，，则________．‎ ‎15．已知三棱锥P-ABC中，是面积为的等边三角形，，则当点C到平面PAB的距离最大时，三棱锥P-ABC外接球的表面积为_______．‎ ‎16．已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为_______.‎ 三、解答题（17-21每小题12分，22或者23题10分）‎ ‎17．的内角的对边分别为，已知，.‎ ‎（1）求角C；（2）延长线段到点D，使，求周长的取值范围．‎ ‎18．在中（图1），，，为线段上的点，且.以为折线，把翻折，得到如图2所示的图形，为的中点，且，连接.‎ ‎（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.‎ ‎19．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？‎ 不合格 合格 男生 ‎14‎ ‎16‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？‎ ‎（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望．‎ 附：‎ ‎0．100‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎2．703‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；‎ ‎（2）若，对恒成立，求的取值范围．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.‎ 从22题，23题任选一题进行作答 ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程.‎ 以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于0的直线.‎ ‎（1）求与的极坐标方程；‎ ‎（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，求的取值范围.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知正实数满足 .‎ ‎（1）求 的最小值.‎ ‎（2）证明：‎ 柳州高中2018级寒假测试数学理科试题（二）参考答案 ‎1．D【详解】，∴．故选：D．‎ ‎2．B【详解】，则，因此“”是“”的必要不充分条件．故选：B．‎ ‎3．B【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．‎ ‎∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人。‎ ‎4．B【解析】,,所以与的夹角是 .‎ ‎5．B【解析】试题分析：所有不同方法数有种,所求事件包含的不同方法数有种,因此概率,答案选B.‎ ‎6．B【详解】解：①若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，由方差的计算公式可得样本的方差不变，故正确；‎ ‎②在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，故正确；‎ ‎③设随机变量服从正态分布，若，则，，故正确；‎ ‎④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，判断“与有关系”的把握越大，故错误.故选：B．‎ ‎7．A【详解】的展开式通项为，令 ‎，得.因此，的系数为.故选：A.‎ ‎8．D【详解】焦距为10，，曲线的焦点坐标为，‎ 双曲线C：的一条渐近线的斜率为，‎ ‎，，解得，，所求的双曲线方程为：．‎ ‎9．D【详解】根据题意甲只能在2,4,6这三天值班，共三种情况，‎ 又甲、乙二人安排在相邻两天，甲确定后，乙有两种选择，‎ 其余5人没有限制，有 种情况，故不同的安排方法有种方法，故选：D ‎10．D【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．‎ 故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.‎ 设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.‎ ‎11．A【详解】解：如图 ‎[来源:学。科。网]‎ 设点为圆的圆心，坐标为，圆的半径为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设，则，设，‎ 则，故，‎ 在上单调递增，，‎ ‎12．A【详解】,‎ 函数在区间上有两个极值点,‎ 即方程在内有两个不等实数根.‎ 所以 以为纵坐标，为横坐标画出不等式满足的平面区域.‎ 曲线与直线相切于点，‎ 曲线与直线相切于点.‎ 根据选项，则的可能取值在选项中只能为3.故选：A.‎ ‎13．-2【详解】‎ 如图，作出可行域，由图象可知，当目标函数过点C时，函数取值最小值，‎ ‎.故答案为：-2‎ ‎14．【详解】由,,,‎ 则．故答案为：‎ ‎15．【详解】当平面平面PAB时，三棱锥P-ABC的体积达到最大；‎ 记点D，E分别为，的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O，则点O即为三棱锥P-ABC外接球的球心，AO即为球的半径；‎ 因为﹐故；在中，，则，‎ 由正弦定理可，故，‎ 记AB的中点为F，则，‎ 故，故外接球的表面积．故答案为：‎ ‎16．8【详解】∵，∴，∴是奇函数．‎ 又，设，则，即，‎ ‎∴，∴，即，∴是上的增函数．∴由得，∴，即．，∴．当且仅当，即时，等号成立．∴，∴的最小值为8．‎ 故答案为：8．‎ ‎17．【详解】（1）根据余弦定理得 整理得【2分】，‎ ‎【2分】，‎ ‎ 【2分】‎ ‎（2）依题意得为等边三角形，所以的周长等于 由正弦定理，所以，【1分】‎ ‎ 【2分】‎ ‎，，，，【2分】‎ 所以的周长的取值范围是．【1分】 ‎ ‎18．【详解】（1）证明：在图1中有：，，所以 在中，，，‎ ‎，所以【2分】‎ 在图2中有：在中，，为的中点 ‎，在中，，，‎ ‎，所以，【2分】翻折后仍有 又、平面，，平面【1分】‎ 平面，所以【1分】‎ ‎（2）解：由（1）可知、、两两互相垂直.‎ 以为原点，、、所在的直线分别为、、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，【1分】则，，【1分】‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，则 ‎，令，则，，‎ ‎【1分】‎ 平面的法向量为【1分】‎ ‎【1分】‎ 二面角的余弦值为【1分】‎ ‎19．【详解】（1）完善列联表如下所示：‎ 不合格 合格 合计 男生 ‎14‎ ‎16‎ ‎30‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎24‎ ‎36‎ ‎60‎ ‎【2分】‎ ‎，【2分】‎ 故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．【1分】‎ ‎（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X的可能取值为，【1分】‎ ‎,,,‎ ‎,，【2分】‎ 故X的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3[来源:学科网]‎ ‎4‎ ‎[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎【2分】‎ 所以.【2分】‎ ‎20．【详解】（1），，【2分】‎ 由，得，【2分】‎ ‎（2）因为，，【1分】‎ 等价于【1分】，令，，【2分】‎ 当时，，所以在上单调递减，【1分】‎ 当时，，所以在上单调递增，【1分】‎ 所以，所以.【2分】‎ ‎21．【详解】（1）设，，则直线的方程为：，即.【1分】‎ ‎∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离为，解之得.【1分】‎ ‎∵椭圆的离心率为，即，所以，所以【1分】‎ ‎∴椭圆的方程为.【1】‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：，‎ 代入椭圆方程化简可得，【1分】‎ 恒成立，设，，则，是上述方程的两个不等根，∴，.【1分】‎ ‎∴的面积 ‎【1分】‎ 设，则，，则，.【1分】‎ 令，则恒成立，【1分】‎ 则函数在上为减函数，故的最大值为，【1分】‎ 所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，【1分】‎ 此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.【1分】‎ ‎22．【详解】（1）曲线的方程为，的极坐标方程为，【2分】‎ 的方程为，其极坐标力程为.【2分】‎ ‎（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为，，‎ 联立与的极坐标方程，得，即，【2分】‎ 联立与的极坐标方程，得，即【2分】，‎ 所以 ，【1分】‎ 又，所以.【1分】‎ ‎23．【详解】（1）因为 ，所以 【2分】‎ 因为 ，所以 （当且仅当 ，即 时等号成立），【2分】‎ 所以【1分】‎ ‎（2）证明：【2分】‎ 因为 ，所以 【2分】‎ 故 （当且仅当 时，等号成立）【1分】‎