2015年高考数学（理科）真题分类汇编M单元　推理与证明 7页

‎ 数 学 M单元　推理与证明 ‎ M1　合情推理与演绎推理 ‎11．M1[2015·山东卷] 观察下列各式：‎ C＝40；‎ C＋C＝41；‎ C＋C＋C＝42；‎ C＋C＋C＋C＝43；‎ ‎……‎ 照此规律，当n∈N*时，‎ C＋C＋C＋…＋C＝________．‎ ‎11．4n－1　[解析] 归纳可知，C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.‎ M2　直接证明与间接证明 ‎16．[2015·湖南卷] N1(1)选修41：几何证明选讲 如图15，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：‎ ‎(i)∠MEN＋∠NOM＝180°；‎ ‎(ii)FE·FN＝FM·FO.‎ 图15‎ N3(2)选修44：坐标系与参数方程 已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(i)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(ii)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ N4、M2(3)选修45：不等式选讲 设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(i)a＋b≥2；‎ ‎(ii)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ ‎16．(1)证明：(i)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OM⊥AB，ON⊥CD，即∠OME＝90°，∠ENO＝90°，因此∠OME＋∠ENO＝180°.又四边形的内角和等于360°，故∠MEN＋∠NOM＝180°.‎ ‎(ii)由(i)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.‎ ‎(2)解：(i)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(ii)将代入②，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎(3)证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(i)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2(当且仅当a＝b时等号成立)，即a＋b≥2.‎ ‎(ii)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得00，函数f(x)＝eaxsin x(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点．证明：‎ ‎(1)数列{f(xn)}是等比数列；‎ ‎(2)若a≥，则对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立．‎ ‎21．证明：(1)f′(x)＝aeaxsin x＋eaxcos x＝eax(asin x＋cos x)＝eaxsin(x＋φ)，‎ 其中tan φ＝，0<φ<.‎ 令f′(x)＝0，由x≥0，得x＋φ＝mπ，即x＝mπ－φ，m∈N*.‎ 对k∈N，若2kπ0；‎ 若(2k＋1)π0)．‎ 设g(t)＝(t>0)，则g′(t)＝.令g′(t)＝0，得t＝1.‎ 当01时，g′(t)>0，所以g(t)在区间(1，＋∞)上单调递增．‎ 从而当t＝1时，函数g(t)取得最小值g(1)＝e.‎ 因此，要使(*)式恒成立，只需.‎ 而当a＝时，由tan φ＝＝>且0<φ<知，<φ<.于是π－φ<<，且当n≥2时，nπ－φ≥2π－φ>>.因此对一切n∈N*，axn＝≠1，所以g(axn)>g(1)＝e＝，故(*)式恒成立．‎ 综上所述，若a≥，则对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立．‎ M3 数学归纳法 ‎22．B3、M3、E7[2015·湖北卷] 已知数列{an}的各项均为正数，bn＝nan(n∈N＋)，e为自然对数的底数．‎ ‎(1)求函数f(x)＝1＋x－ex的单调区间，并比较与e的大小；‎ ‎(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；‎ ‎(3)令cn＝(a‎1a2…an)，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x<0时，f(x)单调递增；‎ 当f′(x)<0，即x>0时，f(x)单调递减．‎ 故f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．‎ 当x>0时，f(x)