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- 2021-04-16 发布
微专题
4
含
参不等式的研究
微专题4 含参不等式的研究
题型
一 利用分类讨论求解含参不等式
例1
(2019连云港期中,16)设二次函数
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
,函数
F
(
x
)=
f
(
x
)-
x
的两个
零点为
m
,
n
(
m
<
n
).
(1)若
m
=-1,
n
=2,求不等式
F
(
x
)>0的解集;
(2)若
a
>0,且0<
x
<
m
<
n
<
,比较
f
(
x
)与
m
的大小.
解析
(1)
F
(
x
)=
f
(
x
)-
x
=
ax
2
+
bx
+
c
-
x
=
ax
2
+(
b
-1)
x
+
c
,
因为函数
F
(
x
)的两个零点为-1,2,
所以
解得
所以
F
(
x
)=
ax
2
-
ax
-2
a
=
a
(
x
-2)(
x
+1).
当
a
>0时,
F
(
x
)=
a
(
x
-2)(
x
+1)>0的解集为(-
∞
,-1)
∪
(2,+
∞
);
当
a
<0时,
F
(
x
)=
a
(
x
-2)(
x
+1)>0的解集为(-1,2).
综上所述,当
a
>0时,
F
(
x
)>0的解集为(-
∞
,-1)
∪
(2,+
∞
);当
a
<0时,
F
(
x
)>0的解集
为(-1,2).
(2)函数
F
(
x
)=
ax
2
+(
b
-1)
x
+
c
的两个零点为
m
,
n
(
m
<
n
),
所以
解得
所以
F
(
x
)=
ax
2
-(
m
+
n
)
ax
+
mna
=
a
(
x
-
m
)(
x
-
n
),
f
(
x
)-
m
=
F
(
x
)+
x
-
m
=
a
(
x
-
m
)(
x
-
n
)+
x
-
m
=
a
(
x
-
m
)
,
因为
a
>0,且0<
x
<
m
<
n
<
,
所以
x
-
m
<0,
x
+
-
n
=
x
+
>0,
所以
f
(
x
)-
m
<0,即
f
(
x
)<
m
.
【方法归纳】 含参数的二次不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论:
①若二次项系数为常数,则首先确定二次项系数是不是正数,再考虑分解因
式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式的符号进行分类
讨论;
②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是不是零,确定不等式是不是
二次不等式后,再进行求解.
含参数的二次不等式的求解,关键在于对参数的恰当分类,应认真寻找对参数
进行分类的原因,明确分类标准(如最高次项的系数、判别式、根相等),然后
进行层次清楚的求解.
1-1
(2018盐城中学高三期末,13)已知函数
f
(
x
)=
x
2
+(1-
a
)·
x
-
a
,若关于
x
的不等
式
f
(
f
(
x
))<0的解集为空集,则实数
a
的取值范围是
.
答案
-3
≤
a
≤
2
-3
解析
f
(
x
)=
x
2
+(1-
a
)
x
-
a
=(
x
-
a
)(
x
+1)<0,
当
a
=-1时,
f
(
x
)=(
x
+1)
2
<0无解,符合题意;
当
a
>-1时,
f
(
x
)<0的解集为-1<
x
<
a
,此时要满足
f
(
f
(
x
))<0的解集为空集,只需
f
(
x
)
≥
a
恒成立,即
x
2
+(1-
a
)
x
-2
a
≥
0恒成立,所以只需
Δ
=
a
2
+6
a
+1
≤
0,解得-2
-3
≤
a
≤
2
-3,又
a
>-1,所以-1<
a
≤
2
-3;
当
a
<-1时,
f
(
x
)<0的解集为
a
<
x
<-1,此时要满足
f
(
f
(
x
))<0的解集为空集,只需
f
(
x
)
≥
-1恒成立,即
x
2
+(1-
a
)
x
-
a
+1
≥
0恒成立,所以只需
Δ
=
a
2
+2
a
-3
≤
0,解得-3
≤
a
≤
1,
又
a
<-1,所以-3
≤
a
<-1.
综上,-3
≤
a
≤
2
-3.
题型二 利用数形结合求解含参不等式
例2
(2018泰兴中学月考)已知
a
>0,函数
f
(
x
)=
则关于
t
的不等
式
f
>-
的解集为
.
答案
解析
作出函数
f
(
x
)的图象如图,当
f
(
x
)=-
时,
x
=-
.由图可得关于
t
的不等式
f
>-
⇔
t
-
>-
,
t
>-
,则所求解集为
.
【方法归纳】 含参不等式问题的求解经常借助函数的图象,根据不等式中
参数的特点,选择适当的两个(或多个函数),将已知条件转化为两个(或多个)
函数图象的位置关系问题,进而转化为数量关系来解决问题,解题时应注意三
点:第一,要明确一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征,对题目中的条
件和结论要做到既分析其几何意义,又分析其代数意义;第二,要恰当设参、
合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三,要正确确定参数
的取值范围.
2-1
若不等式
>(
a
-1)
x
的解集为
A
,且
A
⊆
{
x
|0<
x
<2},则实数
a
的取值范围
是
.
答案
(2,+
∞
)
解析
令
y
1
=
,
y
2
=(
a
-1)
x
,
其中
y
1
=
表示以(2,0)为圆心,
以2为半径的圆在
x
轴的上方的部分
(包括圆与
x
轴的交点),如图所示,
y
2
=(
a
-1)
x
表示过原点的直线系,不等式
>(
a
-1)
x
的解集即两函数图象中
半圆在直线上方的部分所对应的
x
值.由于不等式解集
A
⊆
{
x
|0<
x
<2},因此,只
需要
a
-1>1,即
a
>2.
2-2
已知函数
f
(
x
+1)=
f
(
x
)+1,当
x
∈[0,1]时,
f
(
x
)=|3
x
-1|-1,若对任意实数
x
,都有
f
(
x
+
a
)>
f
(
x
)成立,则实数
a
的取值范围是
.
答案
∪
解析
作出函数
f
(
x
)的图象如图,对任意实数
x
,都有
f
(
x
+
a
)>
f
(
x
)成立,则
a
>0,且
当
A
点移动到
C
点右侧,且不与点
D
重合时满足题意,则
a
>
,且
a
≠
.
题型三 利用函数性质求解含参不等式
例3
(2019苏州期中,18)已知
f
(
x
)=e
x
-
是奇函数.
(1)求实数
a
的值;
(2)求函数
y
=e
2
x
+e
-2
x
-2
λf
(
x
)在
x
∈[0,+
∞
)上的值域;
(3)令
g
(
x
)=
f
(
x
)-2
x
,求不等式
g
(
x
3
+1)+
g
(1-3
x
2
)<0的解集.
解析
(1)函数的定义域为R,因为
f
(
x
)为奇函数,
所以
f
(0)=0,所以1-
a
=0,所以
a
=1.
当
a
=1时,
f
(-
x
)=e
-
x
-
=-e
x
+
=-
f
(
x
),
此时
f
(
x
)为奇函数.
(2)令e
x
-
=
t
(
t
≥
0),所以e
2
x
+
=
t
2
+2,
所以
h
(
t
)=
t
2
-2
λt
+2,图象对称轴为直线
t
=
λ
.
①当
λ
≤
0时,
h
(
t
)∈[
h
(0),+
∞
),所求值域为[2,+
∞
);
②当
λ
>0时,
h
(
t
)∈[
h
(
λ
),+
∞
),所求值域为[2-
λ
2
,+
∞
).
(3)
g
(
x
)的定义域为R.因为
f
(
x
)=e
x
-
为奇函数,
所以
g
(-
x
)=
f
(-
x
)-2(-
x
)=-
f
(
x
)+2
x
=-
g
(
x
),
所以
g
(
x
)=
f
(
x
)-2
x
为奇函数,
所以
g
(
x
3
+1)+
g
(1-3
x
2
)<0等价于
g
(
x
3
+1)<
g
(3
x
2
-1).
又
g
'(
x
)=
f
'(
x
)-2=e
x
+
-2
≥
2-2=0,当且仅当
x
=0时,等号成立,
所以
g
(
x
)=
f
(
x
)-2
x
在R上单调递增,
所以
x
3
+1<3
x
2
-1,即
x
3
-3
x
2
+2<0,
即(
x
-1)(
x
2
-2
x
-2)<0,
所以
x
<1-
或1<
x
<1+
.
所以不等式的解集是(-
∞
,1-
)
∪
(1,1+
).
【方法归纳】 利用函数的单调性解含参数不等式时,首先把不等号两边的
式子所对应的函数设出来,然后利用函数的单调性进行求解;利用导数解含参
数不等式时,关键在于灵活地构造函数,然后通过函数的性质来求解不等式.
3-1
定义域为R的函数
f
(
x
)=
.若对于任意
t
∈R,不等式
f
(
t
2
-2
t
)<-
f
(2
t
2
-
k
)恒
成立,求
k
的取值范围.
解析
任取
x
1
,
x
2
∈R,不妨设
x
1
<
x
2
,则
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)=
>0,则函数
f
(
x
)为R
上的减函数,易知
f
(
x
)又为R上的奇函数,
故不等式
f
(
t
2
-2
t
)<-
f
(2
t
2
-
k
)可化为
t
2
-2
t
>-2
t
2
+
k
,
即
k
<3
t
2
-2
t
恒成立,而3
t
2
-2
t
的最小值为-
,所以
k
<-
.
3-2
已知函数
f
(
x
)=2ln
x
+
x
2
-
ax
,
a
∈R.
(1)若
a
=e,解不等式
f
(
x
)<2;
(2)求证:当
a
>4时,函数
f
(
x
)只有一个零点.
解析
(1)当
a
=e时,
f
(
x
)=2ln
x
+
x
2
-e
x
,
f
'(
x
)=
+2
x
-e=
.因为e
2
-16<0,2>0,
所以2
x
2
-e
x
+2>0,所以
f
(
x
)在(0,+
∞
)上单调递增.又因为
f
(e)=2ln e+e
2
-e·e=2,所以
f
(
x
)<2
⇔
f
(
x
)<
f
(e),
因此不等式
f
(
x
)<2的解集为(0,e).
(2)证明:
f
'(
x
)=
+2
x
-
a
=
,
x
∈(0,+
∞
),
令
g
(
x
)=2
x
2
-
ax
+2,当
a
>4时,
Δ
=
a
2
-16>0,
所以
g
(
x
)=2
x
2
-
ax
+2一定有两个零点,设为
x
1
,
x
2
(
x
1
<
x
2
),
因为
x
1
+
x
2
=
>0,
x
1
x
2
=1,所以0<
x
1
<1<
x
2
.又在(0,
x
1
),(
x
2
,+
∞
)上
g
(
x
)>0,即
f
'(
x
)>0,在
(
x
1
,
x
2
)上
g
(
x
)<0,即
f
'(
x
)<0,则
f
(
x
)在区间(0,
x
1
),(
x
2
,+
∞
)上单调递增,在区间(
x
1
,
x
2
)
上单调递减.
因为
g
(
x
1
)=2
-
ax
1
+2=0,
所以
f
(
x
1
)=2ln
x
1
+
-
ax
1
=2ln
x
1
-
-2.
因为0<
x
1
<1,所以
f
(
x
1
)=2ln
x
1
-
-2<2ln 1-
-2<0,所以
f
(
x
2
)<
f
(
x
1
)<0.又
f
(
a
)=2ln
a
+
a
2
-
a
2
=2ln
a
>0,所以
f
(
x
)只有一个零点.
1.(2017江苏,11,5分)已知函数
f
(
x
)=
x
3
-2
x
+e
x
-
,其中e是自然对数的底数,若
f
(
a
-
1)+
f
(2
a
2
)
≤
0,则实数
a
的取值范围是
.
答案
解析
因为
f
(-
x
)=-
x
3
+2
x
+
-e
x
=-
f
(
x
),且
f
(
x
)的定义域为R,所以函数
f
(
x
)是奇函
数.因为
f
'(
x
)=3
x
2
-2+e
x
+e
-
x
≥
3
x
2
-2+2
≥
0,所以
f
(
x
)在R上单调递增,又
f
(
a
-
1)+
f
(2
a
2
)
≤
0,即
f
(2
a
2
)
≤
f
(1-
a
),所以2
a
2
≤
1-
a
,即2
a
2
+
a
-1
≤
0,解得-1
≤
a
≤
,故实
数
a
的取值范围是
.
2.(2017江阴中学期中)已知函数
f
(
x
)是定义在R上的奇函数,当
x
≥
0时,
f
(
x
)=
(|
x
-
a
|+|
x
-2
a
|-3|
a
|).若集合{
x
|
f
(
x
-1)-
f
(
x
)>0,
x
∈R}=
⌀
,则实数
a
的取值范围为
.
答案
解析
当
a
≤
0时,由
x
≥
0得
f
(
x
)=
(
x
-
a
+
x
-2
a
+3
a
)=
x
.因为
f
(
x
)是奇函数,所以
f
(
x
)=
x
(
x
∈R),此时
f
(
x
-1)=
x
-1,则
f
(
x
-1)-
f
(
x
)=-1>0无解,满足题意;
当
a
>0时,由
x
≥
0
得
f
(
x
)=
根据
f
(
x
)是奇函数,从而作出如图所示的
f
(
x
)的图象,要使{
x
|
f
(
x
-1)-
f
(
x
)>0,
x
∈R}=
⌀
,则0<6
a
≤
1,此时0<
a
≤
.综上所述,实数
a
的取值范围
是
.