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- 2021-04-16 发布
四川省广安第二中学校高2016级2017年秋半期考试
理科数学试题及答案
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A B． C． D．不存在
2．甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，先采用分层抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）
A．15、5、25 B．15、15、15
C．10、5、30 D．15、10、20
4．命题“若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．利用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=4的值的时候需要做乘法和加法的次数分别为（ ）
A．6 、6 B．5 、6 C．5 、5 D．6 、5
6．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（ ）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
7．下列四个数中，最大的是（ ）
A．11011（2） B．103（4） C．44（5） D．25
8．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
9．是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若，，且，
，则m，n的位置关系不可能是（ ）
A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行
10．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知动直线恒过点P（1，m），且Q（4，0）到动直线的最大距离为3，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．9
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于轴的对称点的坐标是 ．
14．经过点（1，2）且与直线垂直的直线方程为 ．
15．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率 ．
16．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是 ．
三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分）
17．（本题满分10分）
已知，，，p是q的充分条件，
求实数的取值范围。
18．（本题满分12分）
从某校参加高二年级学业水平考试模拟考试的学生中
抽取60名学生，将其数学成绩分成6段[40，50），
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），
[90，100]后，画出如图的频率分布直方图．根据图形信息，
解答下列问题：
（1）估计这次考试成绩的众数和及格率．
（2）估计这次考试成绩的平均分；
19．（本题满分12分）
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分
100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
附：方差
20．（本题满分12分）
从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi
（单位：千元）的数据资料，算得，，，．
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程中，，，其中为样本平均值．
21．（本题满分12分）
如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，
AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．
（1）求证：EF∥平面A1B1BA；
（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；
（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
22．（本题满分12分）
已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线
相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，
Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
答案与解析
一． 选择题（共12小题）
1---6 BCDCAA 7---12 ABDDAB
二． 填空题（共4小题）
13. （﹣2，﹣1，﹣4） 14. x-2y+3=0 15. 16.
三．解答题（共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分）
17．（本题满分10分）
解：p：﹣2≤x≤6．
∵p是q的充分条件，
∴[﹣2，6]是[2﹣m，2+m]的子集
∴∴实数m的取值范围是[4，+∞）．
18．（本题满分12分）解：（1）由众数概念知，
众数是出现次数最多的，
在直方图中，高度最高的小矩形的中间值的横坐标即为众数，
由频率分布直方图知，这次测试数学成绩的众数为85．
这次考试成绩的及格率1﹣（0.005×10﹣0.01×10）=0.85
（2）这次考试成绩的平均分约为：45×（0.005×10）+55×（0.01×10）+65×（0.025×10）+75×（0.025×10）+85×（0.03×10）+95×（0.005×10）=73；
19．（本题满分12分）解：（1）∵甲班学生的平均分是85，
∴，∴x=5，
∵乙班学生成绩的中位数是83，∴y=3；
（2）甲班7位学生成绩的方差为s2==40；
（3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，
乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），
（C，D），（C，E），
（D，E）
其中甲班至少有一名学生共有7种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）．
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，
甲班至少有一名学生”为事件M，则．
答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．
20．（本题满分12分）解：（1）由题意可知n=10，===8，===2，
故lxx==720﹣10×82=80，lxy==184﹣10×8×2=24，
故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，
故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；
（2）由（1）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；
（3）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．
21．（本题满分12分）（1）证明：连接A1B，在△A1BC中，
∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，
又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，
∴EF∥平面A1B1BA；
（2）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，
∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，
又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；
（3）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，
∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE平行且等于B1B，
∴NE平行且等于A1A，∴四边形A1AEN是平行四边形，
∴A1N平行且等于AE，
又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，
∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，
在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，
∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，
又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，
在RT△A1MB1中，A1B1==4，
在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，
∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°
22．（本题满分12分）已知以A（﹣1，2）点为圆心的圆与直线相切．过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1
相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当时，求直线l的方程；
（3）是否是定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
解：（1）设圆A的半径为r，圆与直线相切，可得r=d=
∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20．
（2）当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得x=﹣2，符合题意；
当当斜率k存在时，设出直线l的方程，y=k（x+2），Q是MN的中点，当时，QM=．
AQ=，即圆心到直线y=k（x+2）的距离为1．
可得：，解得k=
∴直线l的方程为x=﹣2或y=（x+2）．
（3）∵AQ⊥BP，
∴=（）•=．
①当斜率k不存在时，即直线与x轴垂直，可得P（﹣2，﹣），，又，
∴．
②当斜率k存在时，设直线l的方程，
由解得P（，），则，
∴=﹣5
综上所得，是定值，且这个定值．