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- 2021-04-16 发布
崇仁二中2017-2018学年高二上学期第一次月考
文科数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ）
A．只有一次投中 B．两次都投中
C. 两次都不中 D．至少投中一次
2.已知角的终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
3.某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．记为等差数列的前项和．若， ，则的公差为（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
5.已知空间两条不同的直线和两个不同的平面，以下能推出“”的是（ ）
A．，， B．，，
C. ，， D． ，，
6. 圆心为且过原点的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
7. 的内角的对边分别是，已知，，则等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8．袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个白球的概率为（ ）
A． B． C. D．
9. 执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）
结束
开始 shi 始
A． B． C．2 D．
甲组 乙组
8 7 9
6 4 8 8 3 n 8
5 m 2 9 2 2 5
10. 我校奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中
两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，
乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
11. 设实数满足约束条件，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项使得，
则的最大值为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是 ．
14．若样本，的平均数为10，方差为2，则对于样本，
其平均数和方差的和为 ．
15.圆上的点到直线的距离的最小值为 ．
16.某单位为了了解用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温
（如表），并求得线性回归方程为．不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知 ．
气温
13
10
﹣1
电量
24
34
38
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）
抚州市某学校在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限（单位：年，）和所支出的维护费用（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：
使用年限（年）
1
2
3
4
5
维护费用（万元）
6
7
7.5
8
9
（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用关于的线性回归方程；
（2）若规定当维护费用超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用
年限的最大值.（参考公式：最小二乘估计线性回归方程中系数计算公式：）
，
18.（本小题满分12分）
已知数列的首项，前项和为．
（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
国庆期间，高速公路堵车现象经常发生.某调查公司为了了解车速，在临川收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速）分成六段后，得到如图的频率分布直方图.
（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
（2）若从这40辆车速在的小型汽车中任意
抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在的概率．
20．（本小题满分12分）
P
B
E
D
C
A
如图，在底面是矩形的四棱锥P‒ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA = AB = 2，BC = 4， E是PD的中点，
（1）求证：平面EAC；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（3）求多面体的体积．
21．（本小题满分12分）
随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众
中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有个人，把这个人按照年龄分成5组：第1组，第2组
，第3组，第4组，第5组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.
（1）求和的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数；
（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.
22．（本小题满分12分）已知圆O：和圆C：．
（1）判断圆O和圆C的位置关系；
（2）过圆C的圆心C作圆O的切线，求切线l的方程；
（3）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否
存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．
一．选择题：BDCACD BDACAD
二．填空题：13. 14. 13 15. 2 16. 100
三．解答题：
17. 【解析】（1）， ……………4分
………………7分
………………8分
故线性回归方程为. ………………9分
（2）当维护费用超过13.1万元时，即
从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.
答：该批空调使用年限的最大值为11年. ………………12分
18．解：由题意得
两式相减得，………………3分
所以当时，是以为公比的等比数列.因为
所以，，对任意正整数成立，是首项为，公比为的等比数列，所以得.……7分
（2），………………8分
所以，………………9分
………………12分
19.解：(1)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为………2分
由题图可知，中位数应该在之间，设为，
则，解得：
即中位数的估计值为……………………………………………………6分
(2)这辆车中，车速在 的共有 (辆)，
其中车速在 的有(辆)，记为
车速在 的有 (辆)，记为……………………8分
从车速在 的这辆汽车中任意抽取辆的可能结果有种不同的结果，
其中抽出的辆车车速都在 的结果有种………………10分
因为抽到每种结果都是等可能的，所以从这辆车速在的汽车中任意抽取辆，
抽出的辆车车速都在 的概率为…………………………………12分
20. 解：（1）连接BD交AC于点G,连接EG，因为E为PD的中点，G为BD的中点，
所以,又因为,，
所以.………………4分
（2），，.
, . 而, 平面
. . ………………8分
（3）,因为E为PD的中点，,
所以点E到平面ADC的距离是,即,
所以………………12分
21.解：（1）由题意可知，，………………1分
由，解得，………………3分
由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30；………………4分
（2）第1，3，4组频率之比为0.020：0.030：0.010=2：3：1
则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，
从第4组抽取的人数为；………………6分
（2） 设第1组抽取的2人为，第3组抽取的3人为，第4组抽取的1人为，
则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，
，共有15个基本事件.………………9分
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有共4个基本
事件，………………11分
所以抽取的2人来自同一个组的概率.………………12分
22.解：（ 1）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1=2，圆C的圆心C（0，4），半径r2=1，
所以圆O和圆C的圆心距，所以圆O与圆C相离．……………2分
（2）设切线的方程为：，即，
所以O到的距离，解得．………………4分
所以切线的方程为或………………5分
（3）ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，
此时直线m与圆O的交点为A（0，2），B（0，﹣2），
AB即为圆O的直径，而点M（2，0）在圆O上，
即圆O也是满足题意的圆………………6分
ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：，
由，消去y整理，得，
由，得或．………………7分
设，
则有…①………………8分
由①得
，…②
，…③………………9分
若存在以AB为直径的圆P经过点M（2，0），则，所以，
因此,
即，………………10分
则，所以，即，满足题意．
此时以AB为直径的圆的方程为，
即，亦即．………………11分
综上，在以为直径的所有圆中，
存在圆P：或，使得圆P经过点
。……………12分