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- 2021-04-16 发布
高考总复习：离散型随机变量及其分布列、期望与方差
【考纲要求】
一、离散型随机变量及其分布列
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象
的重要性；
（2）理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
二、离散型随机变量的均值与方差
（1）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念；
（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、离散型随机变量及其分布列
一、离散型随机变量的概念
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 X，Y， , ，……表示。所有取
值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
要点诠释：
1．所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系。这与函数概念在本质上是相
同的，不同的是函数的自变量是实数，而随机变量的自变量是试验结果。
2．如果随机变量可能取的值为有限个，则我们能够把其结果一一列举出来。
3．随机变量是随机试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件，在学
习中，要注意随机变量与以前所学的变量的区别与联系。
随机变量
离散型随机变量
分布列
均值方差
二、离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 1 2 ,i nx x x x ， ， ， ，X 取每一个值
( =1,2, , )ix i n 的概率 ( = )=i iP X x p ，则表
X
1x 2x ……
ix ……
nx
P
1p 2p ……
ip ……
np
称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式
( = )= , =1,2, ,i iP X x p i n 表示 X 的分布列。
2．离散型随机变量的分布列的性质
① ip ≥0（ =1,2, ,i n ）；
②
1
=1
n
i
i
p
。
要点诠释：求离散型随机变量的分布列时，首先确定随机变量的极值，求出离散型随机变
量的每一个值对应的概率，最后列成表格。
1．分布列可由三种形式，即表格、等式和图象表示。在分布列的表格表示中，结构为 2 行
n+1 列，第 1 行表示随机变量的取值，第 2 行是对应的变量的概率。
2．求分布列分为以下几步：（1）明确随机变量的取值范围；（2）求出每一个随机变量取值
的概率；（3）列成表格。
分布的求解应注意以下几点：（1）搞清随机变量每个取值对应的随机事件；（2）计算必须
准确无误；（3）注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确。
考点二、常见离散型随机变量的分布列
1.两点分布
若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为，
其中 1p P( X ) 称为成功概率。
2.几何分布
独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数 也是一个正整数的离散型随机
变量。
"" k 表示在第 k 次独立重复试验时该事件第一次发生，
X 0 1
P 1-p p
如 果 把 第 k 次 重 复 试 验 时 事 件 A 发 生 记 作 Ak ， 事 件 A 不 发 生 记 作 kA ，且
( ) ,kP A P ( ) 1-kP A P ，
-1
1 2 -1( ) ( ) (1- ) k
k kP k P A A A A p P 那么
那么离散型随机变量ξ的概率分布是：
ξ 1 2 3 … k …
P P (1-P)P (1-P)2P … (1-P)k-1P …
称这样的随机变量 服从几何分布，记作 1( , ) (1 ) ,kg k p p p 其中 0,1,2,k
若随机变量 服从几何分布 1( , ) (1 ) ,kg k p p p ，则 1E p
， 2
1 pD p
3.超几何分布
在含有 M 件次品的 N 件新产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则事件{X=k}发生的概率
为 0 1 2
k n k
M N M
n
N
C CP( X k ) ,k , , , ,m,
C
其中 m=min{M,n},且 n≤N,M≤N,n,M,N∈ *N ,称分
布列
X 0 1 …… m
P 0 0n
M N M
n
N
C C
C
1 1n
M N M
n
N
C C
C
…… m n m
M N M
n
N
C C
C
为超几何分布列。
考点三、离散型随机变量的均值与方差
一、离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
X
1x 2x ……
ix ……
nx
P
1p 2p ……
ip ……
np
1．期望
称 EX= 1x 1p + 2x 2p +……+ ix ip +……+ nx np 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离
散型随机变量取值的平均水平。
2．方差
称 DX= 2
1
n
i i
i
x EX p
为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏
离程度，其算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差，记作 X 。
要点诠释：随机变量的期望、方差是一个常数，样本期望、方差是一个随机变量，随观测
次数的增加或样本容量的增加，样本的期望、方差趋于随机变量的期望与方差。
二、求离散型随机变量 均值与方差的方法：
（1）理解 的意义，写出 可能取的全部值；
（2）求 取每个值的概率；
（3）写出 的分布列；
（4）由均值的定义求 E ；
（5）由方差的定义求 D 。
要点诠释：
（1）随机变量的均值等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和。
（2）均值（数学期望）是随机变量的一个重复特征数，它反映或刻画的是随机变量值的平
均水平，均值（数学期望）是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均。
（3）EX 是一个实数，即 X 作为随机变量是可变的，而 EX 是不变的。
三、期望与方差的性质
1．E(aX+b)=aEX+b
2．D(aX+b)=a2DX.(a,b 为常数)
3. 期望与方差的关系.
⑴如果 E 和 E 都存在，则 E E E
⑵设 和 是互相独立的两个随机变量，则 E E E ,D D D
⑶期望与方差的转化： 22D E E
⑷ E E E E E （因为 E 为一常数）= E - E =0.
四、两点分布与二项分布的均值、方差
1．若 X 服从两点分布，则 EX=p，DX=p(1-p)。
2．若 X～B（n,p），则 EX=np.DX=np(1-p)。
【典型例题】
类型一、离散型随机变量的概念
【例 1】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。
（1）一个口袋中装有 2 个白球和 5 个黑球，从中任取 3 个，其中所含白球的个数为 。
（2）投掷两枚骰子，所得点数之和为 X，所得点数的最大值为 Y。
【思路点拨】（1）3 个球中，可能有 1 个白球，也可能有两个，还可能没有。（2）投掷结
果为 i, j ，其中1 6 1 6i , j 且i, j N 。利用投掷结果确定 X，Y。
【解析】（1） 可取 0，1，2。
=0 表示所取 3 个球中没有白球；
=1 表示所取 3 个球中有一个白球，2 个黑球；
=2 表示所取 3 个球鞋中有 2 个白球，1 个黑球。
（1）X 的可能取值 2，3，4，5，……，12。Y 的可能取值为 1，2，3，……，6。若以 i, j
表示先后投掷的两枚骰子出现的点数。则 X=2 表示（1，1），X=3 表示（1，2），（2，1），X=4 表
示（1，3），（2，2），（3，1），……，X=12 表示（6，6）；
Y=1 表示（1，1），Y=2 表示（1，2），（2，1），（2，2），Y=3 表示（1，3），（2，3），（3，3），
（3，1），（3，2），……，Y=6 表示（1，6），（2，6），（3，6），……，（6，6），（6，5），……，
（6，1）。
【总结升华】随机变量并不一定要取整数值，它的取值一般来源于实际问题，且有特定的含义，
因此，可以是 R 中的任意值．但这并不意味着可以取任何值，它只能取分布列中的值。
举一反三：
【变式
1
】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果
（
1
）一袋中装有
5
只同样大小的白球，编号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
现从该袋内随机取出
3
只
球，被取出的球的最大号码数
ξ
；
（
2
）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数
η【解析】（
1
）
ξ
可取
3
，
4
，
5
ξ=3
，表示取出的
3
个球的编号为
1
，
2
，
3
；
ξ=4
，表示取出的
3
个球的编号为
1
，
2
，
4
或
1
，
3
，
4
或
2
，
3
，
4
；
ξ=5
，表示取出的
3
个球的编号为
1
，
2
，
5
或
1
，
3
，
5
或
1
，
4
，
5
或
2
，
3
或
3
，
4
，
5（
2
）
η
可取
0
，
1
，
…,n
，
…
η=i
，表示被呼叫
i
次，其中
i=0,1,2,…【变式
2
】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：
（
1
）袋中装有
10
个红球，
5
个白球，从中任取
4
个球，其中所含红球的个数为
ξ
；
（
2
）抛掷两个骰子，所得点数之和为
ξ
，所得点数之和是偶数为
η
。
【答案】
（
1
）
ξ
的所有可能取值为
0
，
1
，
2
，
3
，
4
。
ξ=k
表示取出的
4
个球中，有
k
个红球，
4
－
k
个白球（
k=0
，
1
，
2
，
3
，
4
）。
（
2
）
ξ
的所有可能取值为
2
，
3
，
4
，
…
，
12
。
若以（
i
，
j
）表示抛掷甲、乙两个骰子后骰子甲得
i
点且骰子乙得
j
点，
则
ξ=2
表示（
1
，
1
）；
ξ=3
，表示（
2
，
1
），（
1
，
2
）；
ξ=4
，表示（
1
，
3
），（
2
，
2
），（
3
，
1
）；
…
ξ=12
，表示（
6
，
6
）。
η
的可能取值为
2
，
4
，
6
，
…
，
12
。
类型二、离散型随机变量分布列的性质
【例 2】设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0．2 0．1 0．1 0．3 m
求：（1）2X+1 的分布列；
（2）|X-1|的分布列。
【思路点拨】先由分布列的性质，求出 m，由函数对应关系求出 2X+1 和|X-1|的值及概率。
【解析】由分布列的性质知：
0．2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.
首先列表为:
X 0 1 2 3 4
2X+1 1 3 5 7 9
|X-1| 1 0 1 2 3
从而由上表得两个分布列为:
（1）2X+1 的分布列：
2X+1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
（2）|X-1|的分布列：
|X-1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
【总结升华】利用分布列的性质，可以求分布列中的参数值。对于随机变量的函数（仍是
随机变量）的分布列，可以按分布的定义来求。
【例 3】若离散型随机变量ξ的概率分布列为：
ξ 0 1
p 9c2-c 3-8c
试求出常数 c 与ξ的分布列。
【思路点拨】利用离散型随机变量分布列的性质解决。
【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知：
2
2
9 3 8 1
0 9 1
0 3 8 1
c c c
c c
c
解得常数
3
1c ，从而ξ的分布列为：
ξ 0 1
p
3
2
3
1
【总结升华】解题关键是理解随机变量分布列的两个基本性质，在写出ξ的分布列后，要
及时检查所有的概率之和是否为 1。
举一反三：
【变式 1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：
ξ 4 5 6 7 8 9
1
0
P
0
.02
0
.04
0
.06
0
.09
0
.28
0
.29
0
.22
求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．
【答案】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有
P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.
所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．
【变式 2】随机变量 的分布列如下：
1 0 1
P a b c
其中 a b c， ， 成等差数列，若 1
3E ，则 D 的值是 ．
【答案】 5
9
；
由题意知：
2
1
11 0 1 3
a c b
a b c
a b c
，解得
1
6
1
3
1
2
a
b
c
，
所以 2 2 21 1 1 1 1 1 5( 1 ) (0 ) (1 )6 3 3 3 2 3 9D 。
类型三、离散型随机变量的分布列
【例 4】掷两颗骰子，设掷得点数和为随机变量ξ：
（1）求ξ的分布列；
（2）求 P（3＜ξ＜7）。
【思路点拨】要根据随机变量的定义考虑所有情况．
【解析】（1）用数轴表示出掷骰子的所有结果如图所示
∴ξ的取值为 2，3，4，…，10，11，12。
1( 2) ( 12) 36P P ，
2 1( 3) ( 11) 36 18P P ，
3 1( 4) ( 10) 36 12P P ，
4 1( 5) ( 10) 36 9P P ，
5( 6) ( 8) 36P P ，
6 1( 7) 36 6P 。
∴ξ的分布列为：
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P 1
36
1
18
1
12
1
9
5
36
1
6
5
36
1
9
1
12
1
18
1
36
（2） 1 1 5 12 1(3 7) ( 4) ( 5) ( 6) 12 9 36 36 3P P P P 。
【总结升华】确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求概率分布列的关键，本题
求概率采用的是古典概型中的列举法
举一反三：
【变式】一袋装有 6 个同样大小的黑球，编号为 1，2，3，4，5，6，现从中随机取出 3 球
鞋，以 X 表示取出球的最大号码，求 X 的分布列。
【解析】随机变量 X 的取值为 3，4，5，6，从袋中随机地取 3 个球，包含的基本事件总数
为 3
6C ，事件“X=3”包含的基本事件总数为 3
3C ，事件“X=4”包含的基本事件总数为 1 2
1 3C C ；
事件“X=5”包含的基本事件总数为 1 2
1 4C C ；事件“X=6”包含的基本事件总数为 1 2
1 5C C ；从而有
3
3
3
6
1( 3) ,20
CP X
C
1 2
1 3
3
6
3( 4) ,20
C CP X
C
1 2
1 4
3
6
3( 5) ,10
C CP X
C
1 2
1 5
3
6
1( 6) ,2
C CP X
C
∴随机变量 X 的分布列为：
X 3 4 5 6
P 1
20
3
20
3
10
1
2
【例 5】在 10 件产品中有 2 件次品，连续抽 3 次，每次抽 1 件，求：
（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；
（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.
【思路点拨】（1）由题意知随机变量ξ可以取 0，1，2，当ξ=0 时表示没有抽到次品，当
ξ=1 时表示抽到次品数是一个，ξ=2 时表示抽到次品数是两个根据古典概型公式得到概率，写
出分布列
（2）由题意知放回抽样时，每一次抽样可以作为一次实验，抽到次品的概率是相同的，且
每次试验之间是相互独立的，得到η～B（3，0.8，再根据二项分布得到结果。
【解析】η也可以取 0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率
都产生了变化，要具体问题具体分析.
（1）随机变量ξ取值为 0，1，2
P（ξ=0）= 3
10
3
8
C
C =
15
7 ，P（ξ=1）= 3
10
2
8
1
2
C
CC =
15
7 ，P（ξ=2）= 3
10
2
2
1
8
C
CC =
15
1 ，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
15
7
15
7
15
1
（2）随机变量η取值为 0，1，2，3
P(η=k)=C 3
k ·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），
所以η的分布列如下，
η 0 1 2 3
P C 0
3 0.83 C 1
3 0.82·0.2 C 2
3 0.8·0.22 C 3
3 0.23
【总结升华】有放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要
具体问题具体分析。有放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B（3，0.8）。
举一反三：
【变式】高清视频离散型随机变量及其分布列、均值与方差例 5、有 10 件产品,其中 3 件是次品.
从中任取 2 件,若抽到的次品数为 ,求 的分布列,期望和方差.
【解析】由题意，知ξ取值为 0，1，2。
ξ每个值对应的概率为：
P（ξ=0）=
2
7
2
10
7
15
C
C
,P（ξ=1）=
1 1
7 3
2
10
7
15
C C
C
,P（ξ=2）=
2
3
2
10
1
15
C
C
所以 Eξ= 7 7 1 30 1 215 15 15 5
,
Dξ= 2 2 23 7 3 7 3 1 28(0 ) (1 ) (2 )5 15 5 15 5 15 75
【例 6】某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件
二等品通过检测的概率为 2
3
.现有 10 件产品，其中 6 件是一等品，4 件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取 1 件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ)随机选取 3 件产品，其中一等品的件数记为 X ，求 X 的分布列；
(Ⅲ) 随机选取 3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
【思路点拨】(Ⅰ)要考虑两种情况：一选取 1 件产品是一等品，二选取 1 件产品是二等品。
(Ⅱ) 由题设知 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出 P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），
由此能求出 EX．
(Ⅲ) 设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B，事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都
是二等品且都不能通过检测”，由此能求出随机选取 3 件产品，这三件产品都不能通过检测的概
率。
【解析】(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 A ，事件 A 等于事件 “选取一等
品都通过检测或者是选取二等品通过检测”
15
13
3
2
10
4
10
6)( Ap
(Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3.
3 0
4 6
3
10
1( 0) 30
C CP X C
,
2 1
4 6
3
10
3( 1) 10
C CP X C
,
1 2
4 6
3
10
1( 2) 2
C CP X C
,
0 3
4 6
3
10
1( 3) 6
C CP X C
.
(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B
事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以， 31 1 1( ) ( )30 3 810P B .
【总结升华】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解
题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用。
举一反三：
【变式】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A ：“取
出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 ( ) 0.96P A ．
（1）求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ；
（2）若该批产品共 100 件，从中任意抽取 2 件， 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，
求 的分布列．
【解析】（1）记 0A 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品”，
1A 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品”．
则 0 1A A， 互斥，且 0 1A A A ，
故 0 1( ) ( )P A P A A 2 1 2
0 1 2( ) ( ) (1 ) C (1 ) 1P A P A p p p p
于是 20.96 1 p ．解得 0.2p ；
X 0 1 2 3
P 30
1
10
3
2
1
6
1
（2） 的可能取值为 01 2，，．
若该批产品共 100 件，由（1）知其二等品有100 0.2 20 件，
故
2
80
2
100
C 316( 0) C 495P ，
1 1
80 20
2
100
C C 160( 1) C 495P ，
2
20
2
100
C 19( 2) C 495P ．
所以 的分布列为
0 1 2
P 316
495
160
495
19
495
类型四、离散型随机变量的期望和方差
【例 7】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万
元、1.17 万元的概率分别为 1
6
、 1
2
、1
3
；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调
整中，价格下降的概率都是 p(0Dη，可见乙的技术比较稳定。
【例11】某公司要将一批海鲜用汽车运往 A 地，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收
入30万元，每提前一天送到，可多获得1万元,每迟到一天送到，将少获得1万元.为保证海鲜新
鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由
公司承担，其他信息如表所示．
统计信息
汽车行驶路线
不堵车的情况下到达
城市乙所需时间(天)
堵车的情况下到达
城市乙所需时间(天)
堵车的
概率
运费
(万元)
公路1 2 3
10
1 1.6
公路2 1 4
2
1 0.8
(Ⅰ)记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
(Ⅱ)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？
(注：毛利润＝销售收入－运费).
【思路点拨】（Ⅰ）因为在不堵车的时候毛利润为销售收入减去运费，堵车的情况会推迟一天
到达，故毛利润为销售收入减去运费再减去少获得得1万元．两种利润是由堵车是否决定的，故
概率为是否堵车的概率．根据分析即可求得分布列，然后根据期望公式求得即可．
（Ⅱ）可以同（Ⅰ）中的解法一样先求出走公路2时获得的毛利润为η的期望值，然后比较两个
期望值得大小，选择较大的一个即是可能获得的利润最多的情况．
【解析】（Ⅰ）汽车走公路 1 时，不堵车时果园获得的毛利润ξ＝30－1.6＝28.4 万元
堵车时蔬菜基地获得的毛利润ξ＝30－1.6－1＝27.4 万元
∴汽车走公路 1 是获得的毛利润ξ的分布列为
ξ 28.4 27.4
P 9
10
1
10
∴Eξ＝28.4× 9
10
＋27.4× 1
10
＝28.3 万元.
（Ⅱ）设汽车走公路 2 时获得的毛利润为η
不堵车时获得的毛利润η＝30－0.8＋1＝30.2 万元，
堵车时获得的毛利润η＝30－0.8－2＝27.2 万元，
∴汽车走公路 2 时获得的毛利润ξ的分布列为
η 30.2 27.2
P 1
2
1
2
∴Eη＝20.2×1
2
＋17.2×1
2
＝28.7 万元
∵Eξ＜Eη.
∴选择公路 2 可能获利更多。
【总结升华】1、此题主要考查离散型随机变量的分布和期望在实际中的应用问题，在此类选择
可能获得利润最大的问题中，一般都是通过求它们的利润的期望值做比较即可，对学生实际应
用能力要求比较高。
2、DX 表示随机变量 X 对 EX 的平均偏离程度，DX 越大表明平均偏离程度越大，说明 X 的取
值越分散；反之，DX 越小，X 的取值越集中在 EX 附近，统计中常用 DX 来描述 X 的分散程度。
3、随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于期望的程
度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一
般先比较期望，若期望相同，再用方差来决定。
举一反三：
【变式】甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与 ，且 、 的分
布列为：
ξ 1 2 3
p a 0.1 0.6
1 2 3
p 0.3 b 0.3
(1)求 a、b 的值；
(2)甲、乙两名射手在一次射击中的得分均小于 3 的概率谁更大？
(3)计算 、 的期望与方差，并以此分析甲乙的技术状况。
【解析】
(1)∵a+0.1＋0.6=1，∴a=0.3，同理 b=0.4
(2) ( 3) 0.3 0.1 0.4; ( 3) 0.3 0.4 0.7,p p
∴ ( 3) ( 3)p p
(3)期望 1 0.3 2 0.1 3 0.6 2.3 E
1 0.3 2 0.4 3 0.3 2E
方差 2 2 2
1 1 2 2 3 3( - ) ( - ) ( - ) 0.81D x E p x E p x E p
同理 2 2 2(1- 2) 0.3 (2 - 2) 0.4 (3- 2) 0.3 0.6D
由计算结果 E E ，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，
但 D D 说明甲得分的稳定性比乙差，因而，甲乙两人的技术都不够全面。