广东省中山市华侨中学2013届高三第五次调研考试试题（数学文） 9页

中山市华侨中学2013届高三第五次调研考试试题 数 学（文科）‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项： ‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.‎ ‎1.已知复数 (为虚数单位），则在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.集合，若，则实数的值为（ ）‎ A．或 B． C．或 D． ‎ ‎3.等差数列的前项和为，且 则公差等于（ ）‎ A．1 B． C． D．3‎ ‎4.已知向量，若，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.集合， 中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第6题图 ‎6.如图所示的算法流程图中, 若则的值等于（ ）‎ A.8 B‎.9 ‎ C. D.‎ ‎7.已知两条不同直线和及平面，则直线的一个充分条件是（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎8.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）‎ A.－2 B‎.2 ‎C.－4 D.4‎ ‎9.已知点到直线的距离相等，则实数的值等于（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎10. 已知函数，若有，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.‎ ‎2‎ 第11题图 ‎11.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 ．‎ ‎12.给出命题：‎ ‎①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线；‎ ‎②两异面直线，如果平行于平面，那么不平行平面；‎ ‎③两异面直线，如果平面，那么不垂直于平面；‎ ‎④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。‎ 上述命题中，真命题的序号是 ． ‎ ‎13.若函数的有3个零点，则 ．‎ 第15题图 ‎14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为，则点到这条直线的距离为 ．‎ ‎15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为，则圆心到的距离为　　　　　　　． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）设函数的图象经过点．‎ ‎（1）求的解析式，并求函数的最小正周期．‎ ‎（2）若且，求的值。‎ ‎17．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，产品的等级系数越大表明产品的质量越好.现从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，为不合格品．‎ ‎（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；‎ ‎（2）从样本的一等品中随机抽取件，求所抽得件产品等级系数都是的概率．‎ 第18题图 ‎18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱底面, 为的中点, .‎ ‎(1) 求证：平面；‎ ‎(2) 若，求三棱锥的体积。‎ ‎19.（本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切. ‎ ‎(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；‎ ‎(2) 是否存在直线，使过点，并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎20.（本小题满分14分）已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前项的和为，且．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）记,求证：；‎ ‎（3）求数列的前项和．‎ ‎21．（本小题满分14分）设函数且是定义域为的奇函数．‎ ‎（1）求值；‎ ‎（2）若，试判断函数单调性，并求使不等式恒成立的取值范围；‎ ‎（3）若，且在上的最小值为，求 的值．‎ 惠州市2013届高三第二次调研考试数学 文科数学答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B A C C C B B D C A ‎1．【解析】,所以对应的点在复平面的第二象限, 故选B．‎ ‎2．【解析】由可知或,故选A．‎ ‎3．【解析】且.故选C ‎4.【解析】，由得，解得,故选C ‎5.【解析】选C 分K=‎2m，K=‎2m+1两种情况讨论可得结果.‎ ‎6.【解析】故,故选 B.‎ ‎7.【解析】选B 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。‎ ‎8.【解析】选D 椭圆的右焦点为F（2,0）‎ ‎9.【解析】选C ‎ ‎10.【解析】选A, 由题可知，，若有则，即，解得。‎ 二、填空题 ‎11.64 12. ①③ 13. 4 14. 15．‎ ‎11.【解析】由图可知甲得分的中位数为36，乙得分中位数为28，故和为64.‎ ‎12.【解析】②两条异面直线可以平行于同一个平面; ③若，这与a,b为异面直线矛盾；④两条异面直线在同一个面内的射影可以是：两条平行直线、两条相交直线、一点一直线.‎ ‎13.【解析】数形结合作出函数的图像,再作出y=a的图像观察即得.‎ ‎14.【解析】化极坐标方程为直角坐标及A,再数形结合可得.‎ ‎15.【解析】先用切割线定理求出的长度,然后距离 三、解答题 ‎16．解：（1）函数的图象经过点 ‎ ， …………………….2分 ‎ …………………….3分 函数的最小正周期 ……………………4分 ‎（2）………6分 ‎ 又因为 ‎…………………………………………………………9分 ‎………12分 ‎17．解：（1）由样本数据知，‎ ‎30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件. ……………………3分 ‎∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为, ……4分 二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为, ……………………5分 三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为．………………………6分 ‎（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的有3件，…7分 记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： ,,，，，,, ,,，,,, 共15种， …………10分 记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是‎8”‎为事件，‎ 则包含的基本事件有 共3种， ………11分 故所求的概率. ……………………12分 ‎18. 解：（1）证明: 连接,设与相交于点,连接,…… 1分 ‎ ∵ 四边形是平行四边形,∴点为的中点. …… 3分 ‎∵为的中点，‎ O ‎∴为△的中位线, ∴ . …… 5分 ‎∵平面,平面,‎ ‎∴平面. …… 7分 ‎（2）∵三棱柱，∴侧棱，‎ 又∵底面∴侧棱，‎ 故为三棱锥的高，，…… 10分 ‎…… 12分 ‎…… 14分 ‎19. 解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线垂足为，‎ 由题意知： ………………2分 即动点到定点与到定直线的距离相等，‎ 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点,为准线，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹方程为 …………5分 ‎（2）若直线的斜率不存在，则与抛物线C相切，只有一个交点，不合题意；‎ 若直线的斜率为0，则与抛物线C相交，只有一个交点，不合题意；………………………………………………6分 故设直线的方程为 由得 ………8分 ‎ ， 且………9分 设，，则，…11分 ‎ 由，即 ，，‎ 于是，…12分 即，解得 …………13分 ‎ ∴ 直线存在，其方程为即 ………………14分 ‎20.解：（1）∵，是方程的两根，且数列的公差>0，‎ ‎∴=5，=9，公差∴………3分 又当=1时，有 ‎ 当 ‎∴数列{}是首项，公比等比数列，‎ ‎∴ …………6分 ‎（2）由（1）知 …………8分 ‎∴‎ ‎∴ …………………………10分 ‎（3），设数列的前项和为，‎ ‎ （1）‎ ‎ (2) ………………12分 得：‎ 化简得： ………………………14分 ‎21．解：(1)∵是定义域为R的奇函数，‎ ‎∴…… 1分 ‎∴…… 2分 ‎（2）‎ ‎，……3分 而在R上单调递减，在R上单调递增，‎ 故判断在R上单调递减，……4分 不等式化为，，‎ ‎ 恒成立，，解得……8分 ‎（3），，即，‎ 或（舍去）……9分 令，‎ 由（1）可知为增函数，，……11分 令 ()………12分 若，当时，………… 13分 若，当时，舍去 综上可知…14分