2019-2020学年河北省唐山市第二中学高二上学期期中考试数学试题 9页

唐山二中2019-2020学年度第一学期高二期中考试数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共22题。考生作答时，将第I卷答案填涂在选择题答题卡上，第II卷答案写在非选择题答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，只交两张答题卡。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知直线：，直线：，且，‎ 则等于 （　　）‎ A．﹣1 B．6或﹣‎1 ‎C．﹣6 D．﹣6或1‎ ‎3．“”是“直线与圆相切”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．命题“∃x0＜0， ＜‎1”‎的否定是（　　）‎ A．∃x0≥0，≥1 B．∀x≥0， ≥‎1 ‎C．∀x＜0，＞1 D．∀x＜0，≥1‎ ‎5．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 ‎ C．12 D．18‎ ‎6．在三棱锥A﹣BCD中，，， ，，‎ 则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）‎ A．若α∥β，m⊥n，m⊥α，则n∥β B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β ‎ C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n ‎8．若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．‎ ‎9．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知定点和圆x2+y2＝4上的动点,动点满足,则点的 轨迹方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知四面体A-BCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF与CD所成角的度数为30°，则EF与AB所成角的度数为（　　）‎ A．90° B．45° ‎ C．60° D．30°‎ ‎12．椭圆的左焦点为，若关于直线 的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分，答案填在Ⅱ卷答题卡上）‎ ‎13．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 。‎ ‎14．过点P（1，）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝ 。‎ ‎15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，E，F分别为棱 AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A‎1G＝λ（0＜λ＜2），‎ 则点G到平面D1EF的距离为 。‎ ‎16. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长 最大时，的面积是 。‎ 三、解答题：（共6小题，70分。解答应写出文字说明、证明过程，答案填在Ⅱ卷答题卡上）‎ ‎17．已知命题p：，不等式恒成立；q：方程表示焦点 在轴上的椭圆．（1）若为假命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知圆C与直线x+y＝1相切于A（2，﹣1），且圆心在直线y＝﹣2x上（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．‎ ‎19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为，过左焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程．‎ ‎20．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）A1B‎1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，‎ CC1＝2，点M是A1B1的中点．‎ ‎（1）求证：B‎1C∥平面AC‎1M；‎ ‎（2）求AA1与平面AC‎1M所成角的正弦值．‎ ‎21．已知圆C：（x+1）2+y2＝16和点B（1，0），P是圆C上一点，线段BP的垂直平分线交CP于点E，（1）求点E的轨迹方程.‎ ‎（2）设点E的轨迹为曲线G，过点B（1，0）的直线与曲线G交于不同的两点M，N，‎ A为曲线G的左顶点．当△AMN的面积为时，求的方程．‎ ‎22．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC上的 任意一点．‎ ‎（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；‎ ‎（2）设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．‎ 唐山二中2019-2020学年度第一学期高二期中考试 数学答案 一、 选择题 ‎ ‎ 二、填空题 ‎13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17、（1）解：（1）若￢p为假，则p为真，‎ 若命题p真，即对∀x∈[﹣1，1]，m﹣x2≥0恒成立，‎ 则m≥（x2）max＝1，所以m≥1；‎ ‎（2）解：命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞4⇒m＞2或m＜﹣2，‎ ‎∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题，∴p、q一真一假，‎ ‎①如果p真q假，则有，得1≤m≤2；‎ ‎②如果p假q真，则有，得m＜﹣2，‎ 综上实数m的取值范围为m＜﹣2或1≤m≤2．‎ ‎18、解：（1）由题意设圆心为（a，﹣‎2a），‎ 由圆心与切点的连线与切线垂直可得，解得a＝1．‎ ‎∴C（1，﹣2），半径r＝|AC|＝．‎ ‎∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2；‎ ‎（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，满足题意；‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，‎ 由题意，，解得k＝，∴直线l的方程为y＝﹣．‎ 综上，满足题意的直线l的方程为x＝0或y＝﹣．‎ ‎19、解：（1）椭圆C：＝1的离心率为，∴＝，‎ ‎△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝‎4a＝16，∴a＝4，∴c＝2，‎ ‎∴b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆C的方程+＝1；‎ ‎（2）设过点P（2，1）作直线l，点差法求得直线l的斜率为k＝﹣，‎ ‎∴此弦所在的直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4＝0．‎ ‎20.（1）证明：直三棱柱A1B‎1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1的中点．交于点，连结，则 ， B‎1C平面AC‎1M，∴B‎1C∥平面AC‎1M．‎ ‎（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），C1（0，0，2），M（，2），＝（﹣1，0，2），＝（﹣，2），＝（0，0，2），设平面AC‎1M的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取z＝1，得＝（2，﹣2，1），‎ 设AA1与平面AC‎1M所成角为θ，‎ 则AA1与平面AC‎1M所成角的正弦值为：‎ sinθ＝＝＝．‎ ‎21.解：(1)定义法求得E的轨迹方程： ‎ ‎（2）直线的斜率不存在时,不合题意。‎ ‎∴直线的斜率存在，设：，M（x1，y1），N（x2，y2）‎ 由消去y得消元可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0‎ ‎，x ‎|MN|＝|x1﹣x2|＝‎ 点A（﹣2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为d＝‎ ‎∴S＝|MN||•d＝＝．∴17k4+k2﹣18＝0⇒k＝±1‎ ‎∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0‎ 说明：设计算简单 ‎22.证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵AC∩AS＝A，∴BD⊥平面SAC．‎ ‎∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．‎ ‎（2）解：设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴，‎ 以过O垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图），‎ 则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），S（﹣1，0，2），B（0，﹣，0），D（0，，0）．‎ 设E（x，0，z），则＝（x+1，0，z﹣2），＝（1﹣x，0，﹣z），‎ 设＝，∴，∴E（，0，），‎ ‎∴＝（，﹣，）．＝（0，，0），‎ 设平面BDE的法向量＝（x，y，z），‎ ‎∵．解得＝（2，0， 1﹣λ）为平面BDE的一个法向量．‎ 同理可得平面SAD的一个法向量为＝（），‎ ‎∵平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°，‎ ‎∴cos30°＝＝＝，解得λ＝1．‎ ‎∴E为SC的中点．‎