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- 2021-04-16 发布
数学试卷（理科）
第 I 卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.)
1.若集合 2| 6 , | 11 18 0M x N x N x x x ，则 M N 等于（ ）．
A． 3,4,5 B． | 2 6x x C． | 3 5x x D． 2,3,4,5
2. , ,A B C 三个学生参加了一次考试， ,A B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65 分．已知命
题 :p 若及格分低于 70 分，则 , ,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为 p 的逆否命题的
是（ ）．
A．若及格分不低于 70 分，则 , ,A B C 都及格
B．若 , ,A B C 都及格，则及格分不低于 70 分
C．若 , ,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分
D．若 , ,A B C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分
3.设 1
2 ,
x
x
f x g x tdt x R
，若函数 f x 为奇函数，则 g x 的解析式可以为
（ ）.
A． 3x B．1 x C． cos x D． xxe
4.在 ABC 中， , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，若 2cos cos , 2b A a B c a b ，则
ABC 的周长为（ ）.
A．7.5 B．7 C．6 D．5
5.在正项等差数列 na 中， 2
1 5 92a a a ，且 5 6 7 18a a a ，则（ ）.
A． 1 2 3, ,a a a 成等比数列 B． 4 6 9, ,a a a 成等比数列
C． 3 4 8, ,a a a 成等比数列 D． 2 3 6, ,a a a 成等比数列
6.若 1sin 6 3x
，则 tan 2 3x
等于（ ）．
A． 7
9
B． 7
9
C． 4 2
7
D． 4 2
7
7. 在 Rt AOB 中， 0, 5, 2 5,OA OB OA OB AB
边上的高线为 OD ，点 E 位于
线段 OD 上，若 3
4OE EA
，则向量 EA 在向量 OD 上的投影为（ ）．
A． 3
2
B．1 C．1 或 1
2
D． 1
2
或 3
2
8.已知函数 f x 与 f x 的图像如下图所示，则函数
x
f xg x e
的递减区间为（ ）．
A． 0,4 B． 4,1 , ,43
C． 40, 3
D． 0,1 , 4,
9.将函数 2sin 2 6f x x
的图像向左平移
12
个单位，再向上平移 1 个单位，得到
g x 的图像．若 1 2 9g x g x ，且 1 2, 2 ,2x x ，则 1 22x x 的最大值为（ ）．
A． 49
12
B． 35
6
C． 25
6
D． 17
4
10.若数列 na 满足 1
12 3 2 5 2 3 2 5 lg 1n nn a n a n n n
，且 1 5a ，
则数列
2 3
na
n
的第 100 项为（ ）．
A．2 B．3 C．1 lg99 D． 2 lg99
11. 已知函数 22 5, 4xf x g x x x ，给出下列 3 个命题：
1 :p 若 x R ，则 f x f x 的最大值为 16．
2 :p 不等式 f x g x 的解集为集合 | 1 3x x 的真子集．
3 :p 当 0a 时，若 1 2 1 2, , 2 ,x x a a f x g x 恒成立，则 3a ．
那么，这 3 个命题中所有的真命题是（ ）．
A． 1 2 3p p p、 、 B． 2 3p p、 C． 1 2p p、 D． 1p
12.已知函数
2 , 0
1 , 0
x x a x
f x
xx
，的图像上存在不同的两点 ,A B ，使得曲线
y f x 在这两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是（ ）．
A． 1, 4
B． 2, C． 12, 4
D． 1,2 ,4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡中的横线上）
13. 0 0 0 0sin 63 cos18 cos63 cos108 _____________．
14.设函数
6
2
1 log , 4
, 4
x x
f x f x x
，则 3 4f f _____________．
15. 在 ABC 中， D 为线段 BC 上一点（不能与端点重合），
, 7, 3, 13ACB AB AC BD ，则 AD _____________．
16. 在数列 na 及 nb 中，
2 2 2 2
1 1 1 1, , 1, 1n n n n n n n n n na a b a b b a b a b a b ．设 1 12n
n
n n
c a b
，则
数列 nc 的前 n 项和为_____________．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分 10 分）
已知 0m ，向量 ,3a m m ，向量 1,6b m ，集合 2| 2 0A x x m x m .
（1）判断“ / /a b ”是“ 10a ”的什么条件；
（2）设命题 :p 若 a b ，则 19m .命题 :q 若集合 A 的子集个数为 2，则 1m .判断
p q ， p q ， q 的真假，并说明理由.
18.（本小题满分 12 分）
已知 ABC 的面积为 3
2 AB AC
，且 2, 3AC AB .
（1）求 sin
sin
A
B
；
（2）若点 D 为 AB 边上一点，且 ACD 与 ABC 的面积之比为 1:3.
①求证： AB CD ；
②求 ACD 内切圆的半径 r .
19.（本小题满分 12 分）
食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，
为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害
蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往
的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入Q 与投入 a （单位：万元）满足
180 4 2 , 1204P a Q a .设甲大棚的投入为 x （单位：万元），每年两个大棚的总收
益为 f x （单位：万元）
（1）求 50f 的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f x 最大？
20.（本小题满分 12 分）
已知数列 na 的前 n 项和 2 1n nS n a ，且 1 4,a a 是等比数列 nb 的前两项，记 nb 与 1nb
之间包含的数列 na 的项数为 nc ，如 1b 与 2b 之间包含 na 中的项为 2 3,a a ，则 1 2c .
（1）求数列 na 和 nb 的通项公式；
（2）求数列 n na c 的前 n 项和.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 xf x x a e ，其中 a R .
（1）若曲线 y f x 在点 0,A a 处的切线l 与直线 2 2y a x 平行，求l 的方程；
（2）若 1,2a ，函数 f x 在 ,2ab e 上为增函数，求证： 2 3 2ae b e .
22.（本小题满分 12 分）
记 max ,m n 表示 ,m n 中的最大值，如 max 3, 10 10 .已知函数
2 2 2 21max 1,2lnx , max ln , 2 42f x x g x x x x a x a a
.
（1）设 213 12h x f x x x
，求函数 h x 在 0,1 上零点的个数；
（2）试探讨是否存在实数 2,a ，使得 3 42g x x a 对 2,x a 恒成立？
若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D B D D D A B A C
二、填空题
13. 2
2
14. 4 15. 7 16. 22 4n
三、解答题
（2）若 a b ，则 1 18 0m m m ，∴ 19m （ 0m 舍去），∴ p 为真命题，．．．．．5
分
由 2 2 0x m x m 得 2x m ，或 2x m ，若集合 A 的子集个数为 2，则集合 A
中只有 1 个元素，则 2 2m m ，∴ 1m 或-2，故 q 为假命
题，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分
∴ p q 为真命题， p q 为假命题， q 为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
18.解：（1）∵ ABC 的面积为 1 3sin cos2 2bc A bc A ，∴ tan 3A ，∴
3A ．．．．．3
分
由余弦定理得 2 2 2 2 cos 4 9 6 7a b c bc A ，∴ 7a ，．．．．．．．．．．．．．5 分
∴由余弦定理得 sin 7
sin 2
A a
B b
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
（2）①∵ ACD 与 ABC 的面积之比为 : 1:3AD AB ，∴ 1AD ，．．．．．．．．．．．．．．．8
分
由余弦定理得 3CD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分
∴ 2 2 2AD CD AC ，∴ AD CD 即 AB CD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分
②（法一）在 Rt ADC 中， 3 1
2 2
AD CD ACr ．．．．．．．．．．．．．．．12 分
（法二）设 ACD 的周长为C ，由 1 1 1 32 2C r 得 3 1
2r ．．．．．．．．．．．．12 分
19.解：（1）因为甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分
所以 150 80 4 2 50 150 120 277.54f ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
（2） 1 180 4 2 200 120 4 2 2504 4f x x x x x ，
依题意得 20 20 180200 20
x xx
，故
1 4 2 250 20 1804f x x x x ．．．．．．8 分
令 2 5,6 5t x ，
则 221 14 2 250 8 2 2824 4f x t t t ，
当 8 2t ，即 128x 时， max 282f x ，
所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收益最大，且最大收益为 282 万
元．．．．．．．．．．．12 分
20.解：（1）由题意知， 22
1 11, 1 1 2n n n nS n a S n a n ，两式作差得
12 1n n na n a a ，即 1 2 1 2na n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
所以 2 1na n ，则 1 43, 9a a ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分
所以 2
1 2
1
3, 9, 3bb b q b
，所以 1
1 3n n
nb b q ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分
（2） 1
13 , 3n n
n nb b
，因为数列 na 是由连续的奇数组成的数列，而 nb 和 1nb 都是奇数，
所以 nb 与 1nb 之间包含的奇数个数为
13 3 1 3 12
n n
n
，所以
3 1n
nc ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
2 1 3 1 2 1 3 2 1n n
n na c n n n ．设 2 1 3nn 的前 n 项和为 nT ，
1 23 3 5 3 2 1 3n
nT n ，①
2 3 13 3 3 5 3 2 1 3 n
nT n ，②
①---②，得
1
1 19 32 9 2 2 1 3 2 31 3
n
n n
nT n n
，则 13n
nT n ，．．．．．．．．．11
分
所以数列 n na c 的前 n 项和为 1 23 2n
n nT S n n n ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
21.解：（1）∵ 0 1 2 2f a a ，∴ 3a 或 1
3
．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
当 3a 时， 3 , 0 3xf x x e f ，∴l 的方程为： 4 3y x ．．．．．．．．．．．．4 分
当 1
3a 时， 1 1, 03 3
xf x x e f
，∴l 的方程为： 4 1
3 3y x ．．．．．．．．．．．．．．．6
分
（2）由题可得 1 0xf x x a e 对 ,2ax b e 恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．7 分
∵ 0xe ，∴ 1 0x a ，即 1x a 对 ,2ax b e 恒成立，
∴ 1 aa b e ，即 1ab e a 对 1,2a 恒成立，
设 1, 1,2ag a e a a ，
则 1 0ag a e ，∴ g a 在 1,2 上递增，∴ 2
max 2 3g a g e ，∴ 2 3b e ．
又 2ab e ，∴ 2 3 2ae b e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分
22.解：（1）设 2 2 1 121 2ln , 2 x xF x x x F x x x x
，．．．．．．．．．．．．．1
分
令 0F x ，得 1,x F x 递增；令 0F x ，得 0 1,x F x 递
减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分
∴ min 1 0F x F ，∴ 0F x ，即 2 1 2lnx x ，∴ 2 1f x x ．．．．．．．．．．．．．3
分
设 213 12G x x x
，结合 f x 与 G x 在 0,1 上图象可知，这两个函数的图象
在 0,1 上有两个交点，即 h x 在 0,1 上零点的个数为 2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5
分
（或由方程 f x G x 在 0,1 上有两根可得）
（2）假设存在实数 2,a ，使得 3 42g x x a 对 2,x a 恒成立，
则
2 2 2
3ln 42
1 32 4 42 2
x x x a
x a x a a x a
，对 2,x a 恒成立，
即
2
1ln 42
2 0
x x a
x x a
，对 2,x a 恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6
分
①设 1 1 1 2ln ,2 2 2
xH x x x H x x x
，
令 0H x ，得 0 2,x H x 递增；令 0H x ，得 2,x H x 递减，
∴ max 2 ln 2 1H x h ，
当 0 2 2a 即 2 0a 时， 4 ln 2 1a ，∴ ln 2 1
4a ，∵ 0a ，∴
4 ln 2 1,04a
．
故当 ln 2 1,04a
时， 1ln 42x x a 对 2,x a 恒成
立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
当 2 2a 即 0a 时， H x 在 2,a 上递减，∴
12 ln 2 12H x H a a a ．
∵ 1 1 1ln 2 1 02 2 2a a a
，∴ 2 0 ln 2 1 0H a H ，
故当 0a 时， 1ln 42x x a 对 2,x a 恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10
分
②若 22 0x x a 对 2,x a 恒成立，则 22a a ，∴
1,2a ．．．．．．．．．．．11 分
由①及②得， ln 2 1,24a
．
故存在实数 2,a ，使得 3 42g x x a 对 2,x a 恒成立，
且 a 的取值范围为 ln 2 1,24
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12
分