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- 2021-04-16 发布
【高频考点解读】
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等
3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合
【热点题型】
热点题型一 应用正弦、余弦定理解三角形
例1、【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
所以，选A.
【变式探究】 (1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。若2asinB＝b，则角A等于( )
A. B. C.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。若a＝1，c＝4，B＝45°，则sinC＝________。
答案： （1）A （2）
【提分秘籍】解三角形的方法技巧
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
【举一反三】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
热点题型二 判断三角形的形状
例2、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC。
(1)求角A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝，试判断△ABC的形状。
解析：(1)由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，
∴cosA＝＝，∴A＝60°。
(2)∵A＋B＋C＝180°，
∴B＋C＝180°－60°＝120°。
由sinB＋sinC＝，得sinB＋sin(120°－B)＝，
∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝。
∴sinB＋cosB＝，即sin(B＋30°)＝1。
∵0°＜B＜120°，∴30°＜B＋30°＜150°。
∴B＋30°＝90°，B＝60°。
∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形。
【提分秘籍】 判断三角形形状的方法技巧
解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系。另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响。
【举一反三】
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
热点题型三 与三角形面积有关的问题
例3．【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，
△ABE中，，，
．
又，
，
综上可得，△BCD面积为，．
【变式探究】在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB＝b。
(1)求角A的大小；
(2)若a＝6，b＋c＝8，求△ABC的面积。
解析：(1)由2asinB＝b，得2a＝，
又由正弦定理＝，得＝，所以sinA＝，因为A为锐角，所以A＝。
(2)由(1)及a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝36，
又b＋c＝8，所以bc＝，由S＝bcsinA，得△ABC的面积为。
【提分秘籍】
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。
(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。
【举一反三】
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( )
A．3 B. C. D．3
解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6 ①。
由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab ②。所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6。所以S△ABC＝absin＝×6×＝。
答案：C
【高考风向标】
1.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
【答案】
【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：，
△ABE中，，，
．
又，
，
综上可得，△BCD面积为，．
2.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
【答案】（1）.（2）.
【解析】
（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.
由余弦定理得，即，得.
故△ABC的周长为.
3.【2017课标3，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 ，a=2,b=2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.
【答案】(1) ；(2)
【解析】
（1）由已知得 ，所以 .
在 △ABC中，由余弦定理得 ，即 .
解得： (舍去)， .
【考点】 余弦定理解三角形；三角形的面积公式
4.【2017天津，理15】在中，内角所对的边分别为.已知，，.
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】 (1) .(2)
【解析】
（Ⅰ）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.
由正弦定理,得.
所以，的值为，的值为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以，
.故.
1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．
2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ．
【答案】
3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.
4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .
【答案】8.
【解析】，又，因即最小值为8.
【2015高考天津，理13】在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
又，解方程组得，由余弦定理得，所以.
【2015高考北京，理12】在中，，，，则 ．
【答案】1
【解析】
【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 .
【答案】（，）
【2015江苏高考，15】（本小题满分14分）
在中，已知.
（1）求的长；
（2）求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由余弦定理知，，
所以．
（2）由正弦定理知，，所以．
因为，所以为锐角，则．
因此．
【2015高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】（1）由及正弦定理，得，∴，即，
又B为钝角，因此，故，即；
（2）由（1）知，
，∴，于是
，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是.
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
【解析】(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，
又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
（2014·江西卷）已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
【解析】(1)f(x)＝sin＋cos＝
(sin x＋cos x)－sin x＝cos x－sin x＝sin.
因为x∈[0，π]，所以－x∈，
故f(x)在区间[0，π]上的最大值为，最小值为－1.
(2)由得
又θ∈，知cos θ≠0，
所以
解得
（2014·四川卷）已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
【解析】(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)由已知，得sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin αcos＋cos αsin＝(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝＋2kπ，k∈Z，
此时，cosα－sin α＝－.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
【高考冲刺】
1.在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若当A=C≠60°时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分不必要条件.
2.在△ABC中，若A=，B=，BC=3，则AC=( )
A. B. C.2 D.4
【解析】选C.由正弦定理可得:=，
即有AC===2.
3.在△ABC中，若a2+b2b B.a