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- 2021-04-16 发布
天水一中2019-2020学年度高二级第二学期第一学段考试
数学试题（文科）
一、选择题（每小题3分，共36分）
1.已知全集，集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,,则,故选B.
考点：本题主要考查集合的交集与补集运算.
2.复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据共轭复数的概念即可得答案.
【详解】解：，
.
故选：D.
【点睛】本题考查共轭复数的概念，是基础题.
3.下列函数中,既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给函数特征，排除不符合要求的选项即可．
【详解】A选项为奇函数，可以排除
B选项是周期函数，在区间不具备单调性，可以排除
D选项区间 上单调递增函数，可以排除
只有C既是偶函数，在区间 上单调递减
所以选C
【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的简单应用，属于基础题．
4.如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是( )
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知归纳出第个三角形数是，即可求出结论.
【详解】依题意，第个三角形数是.
故选：B.
【点睛】本题考查归纳推理，属于基础题.
5.如果根据是否爱吃零食与性别的列联表得到，所以判断是否爱吃零食与性别有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ）
注：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A. 2.5% B. 0.5% C. 1% D. 0.1%
【答案】A
【解析】
【分析】
根据得到，得到答案.
【详解】，故，
故判断“是否爱吃零食与性别有关”出错的可能性不超过2.5%.
故选：.
【点睛】本题考查了独立性检验问题，意在考查学生的理解能力和应用能力.
6.已知函数是定义在的周期为2的函数，当时，，则（ ）
A. 1 B. 4 C. 2 D. 32
【答案】C
【解析】
【分析】
根据周期性可得，再通过时，可得答案.
【详解】解：由已知可得.
故选：C.
【点睛】本题考查函数周期性的应用，是基础题.
7.已知,则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得不等式的解集为或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．
【详解】由题意，不等式，等价与，即，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8.已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别判断出的范围，可得的大小关系.
【详解】，即；
，，
可得，
故选：D.
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.
9.已知函数，若，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解不等式，即可得答案.
【详解】解：由已知，则，
.
故选：D.
【点睛】本题考查对数不等式的求解，是基础题.
10.已知正实数满足，则的最小值（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【详解】
，
当且仅当，即，时的最小值为3.
故选B.
点睛：本题主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
11.若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把在区间上有解，转化为存在一个使得，解出的最大值．
【详解】在区间上有解，转化为存在一个使得，设，即是的最大值，的最大值，当时取得，故选D
【点睛】1、
二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
2、对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：
1、恒成立，等价于
2、使得成立，等价于
12.已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围（ ）
A. (0, ) B. C. D. （0,1）
【答案】D
【解析】
【分析】
函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数图象有三个交点，作出图象，即可求出实数的取值范围．
【详解】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，
实数的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的零点，方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系应用，意在考查数形结合和转化思想的应用，属于中档题．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13.复数__________．
【答案】;
【解析】
【详解】 ，故答案为
14.函数的定义域为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的真数大于零，偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】由题意可得，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，一般要根据求函数定义域的基本原则建立不等式组求解，考查计算能力，属于基础题.
15.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程．
【详解】由双曲线的相关性质可知，双曲线的焦点为，顶点为
，
所以椭圆的顶点为，焦点为，
因为，所以椭圆的方程为，
故答案为．
【点睛】本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
16.已知函数，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
因为，所以函数f(x)为增函数，所以不等式等价于，即，故．
三、解答题（前两题每题8分，后三题每题12分，共52分）
17. 计算：
①；
②
【答案】①2；②
【解析】
【分析】
对数运算与指数运算的运算法则一定要搞清.
【详解】解：①原式==2 ,
②原式=2=2=.
18.已知等差数列满足．
（1） 求的通项公式；
（2） 设等比数列满足,求的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.
【详解】解：（1）设的公差为，则由得,
故的通项公式，即．
（2）由（1）得．
设的公比为，则，从而，
故的前项和．
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.
19.已知二次函数满足且.
（1）求的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）设，带入和，即可求出，
，值.
（2）首先将题意转化为时，恒成立，再求出，即可.
【详解】（1）设，
则，
所以，
解得：，.又，
所以.
（2）当时，恒成立，
即当时，恒成立.
设，.
则，.
【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.
20.已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.．
【解析】
【分析】
（1）根据分类讨论的方法去掉绝对值，化为不等式组求解；
（2）先由绝对值的三角不等式得，再根据求得实数的取值范围.
【详解】（1）时，不等式为，等价于
或或，
解得，或或，
∴，
∴不等式的解集是.
（2）由绝对值的三角不等式得，
∵对于恒成立，
∴，
解得或.
∴实数的取值范围为．
21.已知函数．
（1）设是的极值点，求的值；
（2）证明；当时，．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得出，可求得的值，然后对函数是否在取得极值进行验证，进而可求得实数的值；
（2）当时，，构造函数，利用导数证明出当时，恒成立，即可证得结论成立.
【详解】（1）函数的定义域为，．
由题设知，，所以，此时，
则函数在上增函数，
当时，；当时，.
此时，函数在处取得极小值，合乎题意.
综上所述，；
（2）当时，，
设，则．
由于函数在上单调递增，且.
当时，，此时，函数单调递减；
当时，，此时，函数单调递增．
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，.
因此，当时，．
【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.