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- 2021-04-16 发布
2016—2017学年5月燕子矶中学
高二理科数学试卷
命题人：李敏 审核人：沈康生
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1.已知全集，集合，， 则 .
2.函数f（x）=的定义域是 ______ ．
3.分别从集合M{1，2，3}和集合N={4，5，6}中各取一个数，则这两个数之和为偶数的概率为 ______ ．
4．执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是 __．
5.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：
不喜欢戏剧
喜欢戏剧
男性青年观众
40
10
女性青年观众
40
60
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n的值为 ______ ．
6.函数f（x）=2x2-lnx的单调递减区间是 ______ ．
7. 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未被污损，即9，10，11，1，那么这组数据的方差可能的最大值是 __．
8.已知p：-x2+8x+20≥0，q：x2-2x+1-m2≤0（m＞0），若p是q充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ______ ．
9. 已知函数f（x）=-x3+ax2-x-1在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是 __．
10. 已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时函数f（x）单调递减，给出下列四个命题中正确的是 ______ ．
①f（2）=0；
②x=-4为函数f（x）的一条对称轴；
③函数f（x）在[8，10]上单调递增；
④若方程f（x）=m在区间[-6，-2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=-8．
11.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）=-x2-3x，则不等式f（x-1）＞-x+4的解集是 ______ ．
12.若对任意的x∈D，均有f1（x）≤f（x）≤f2（x）成立，则称函数f（x）为函数f1（x）到函数f2（x）在区间D上的“折中函数”．已知函数f（x）=（k-1）x-1，g（x）=0，h（x）=（x+1）lnx，且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k的值构成的集合是 ______ ．
13.已知y=f（x）是R上的偶函数，对于任意的x∈R，均有f（x）=f（2-x），当x∈[0，1]时，f（x）=（x-1）2，则函数g（x）=f（x）-log2017|x-1|的所有零点之和为 ______ ．
14.已知函数f（x）=+alnx，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有＞2恒成立，则实数a的取值范围是 ______ ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
15、(本小题满分 14 分) 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求出圆的直角坐标方程；
（2）已知圆与轴相交于，两点，若直线：上存在点使得，求实数的最大值.
16、(本小题满分 14 分) 设a，b∈R．若直线l：ax+y-7=0在矩阵A=对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x+y-91=0．（1）求实数a，b的值； （2）求出矩阵A的特征值及对应一个的特征向量
17、(本小题满分 14 分)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．
（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；
（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．
18、(本小题满分 16 分) 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于 121，求展开式中系数最小的项．
19、(本小题满分 16 分)已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（c＜4），其导函数y=h'（x）的图象如图所示，函数f（x）=8lnx+h（x）．
（1）求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调增函数，求实数m的取值范围；
（3）若对任意k∈[-1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，求实数c的取值范围．
20、(本小题满分 16 分) 已知函数f （x）=ex-ax-1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若a=e，函数g （x）=（2-e）x．
①求函数h（x）=f （x）-g （x）的单调区间；
②若函数F（x）=的值域为R，求实数m的取值范围；
（2）若存在实数x1，x2∈[0，2]，使得f（x1）=f（x2），且|x1-x2|≥1，求证：e-1≤a≤e2-e．
【参考答案】
填空题
1、 ； 2、[-2，2] ；3、 ；4、30 ；5、30；6、；7、32.8；8、m≥9；
9、；10、①②④；11、（4，+∞）；12、{2}；13、4032；14、[1，+∞）
解答题
15、【答案】解：（1）由得，即，
即圆的标准方程为.
（2）：的方程为，而为圆的直径，
故直线上存在点使得的充要条件是直线与圆有公共点，
故，于是，实数的最大值为.
16、（1）
（2）特征向量答案不唯一
17、【答案】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1-P=1-=．
（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．
P（X=5a）===，P（X=6a）===，
P（X=7a）===，P（X=8a）===．
所以X的分布列为：
X
5a
6a
7a
8a
P
E（X）=5a×+6a×+7a×+8a×=a．
18、【答案】
∴ n＝15或 n＝-16(舍)
考虑的展开式中系数取到最大的项再判断其正负
设的展开式中第 r＋1项为
令则可解得，又因为
∴当r取12或者11时，的系数取到最大，而的系数为
，故当r取11时系数最小，即
19、【答案】
解：（1）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为：
y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，
导函数y=h′（x）过点（5，0）和（0，-10），
代入h′（x）=2ax+b得：
b=-10，a=1；
（2）由（1）得：h（x）=x2-10x+c，h′（x）=2x-10，
f（x）=8lnx+h（x）=8lnx+x2-10x+c，
f′（x）=+2x-10=，
当x变化时
（0，1）
1
（1，4）
4
（4，+∞）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
↘
↗
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（4，+∞）．
单调递减区间为（1，4），
若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥4，解得0≤m≤或m≥4；
故m的范围是：[0，]∪[4，+∞）．
（3）若对任意k∈[-1，1]，x∈（0，8]，不等式（k+1）x≥f（x）恒成立，
即对k=-1时，x∈（0，8]，不等式c≤-x2-8lnx+10x恒成立，
设g（x）=-x2-8lnx+10x，x∈（0，8]，
则g′（x）=，x∈（0，8]，
令g′（x）＞0，解得：1＜x＜4，令g′（x）＜0，解得：4＜x≤8或0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，4）递增，在（4，8]递减，
故g（x）的最小值是g（1）或g（8），
而g（1）=9，g（8）=16-24ln3＜4＜9，c＜4，
故c≤g（x）min=g（8）=16-24ln3，
即c的取值范围是（-∞，16-24ln3]．
20、【答案】解：（1）a=e时，f（x）=ex-ex-1，
①h（x）=f（x）-g（x）=ex-2x-1，h′（x）=ex-2，
由h′（x）＞0，得x＞ln2，由h′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故函数h（x）在（ln2，+∞）递增，在（-∞，ln2）递减；
②f′（x）=ex-e，
x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，1）递减，
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，
m≤1时，f（x）在（-∞，m]递减，值域是[em-em-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，故em-em-1≤（2-e）m，
即em-2m-1≤0，（*），
由①可知m＜0时，h（x）=em-2m-1＞h（0）=0，故（*）不成立，
∵h（m）在（0，ln2）递减，在（ln2，1）递增，且h（0）=0，h（1）=e-3＜0，
∴0≤m≤1时，h（m）≤0恒成立，故0≤m≤1；
m＞1时，f（x）在（-∞，1）递减，在（1，m]递增，
故函数f（x）=ex-ex-1在（-∞，m]上的值域是[f（1），+∞），即[-1，+∞），
g（x）=（2-e）x在（m，+∞）上递减，值域是（-∞，（2-e）m），
∵F（x）的值域是R，∴-1≤（2-e）m，即1＜m≤，
综上，m的范围是[0，]；
（2）证明：f′（x）=ex-a，
若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在R递增，
由f（x1）=f（x2），可得x1=x2，与|x1-x2|≥1矛盾，
∴a＞0且f（x）在（-∞，lna]递减，在[lna，+∞）递增，
若x1，x2∈（-∞，lna]，则由f（x1）=f（x2）可得x1=x2，与|x1-x2|≥1矛盾，
同样不能有x1，x2∈[lna，+∞），
不妨设0≤x1＜x2≤2，则有0≤x1＜lna＜x2≤2，
∵f（x）在（x1，lna）递减，在（lna，x2）递增，且f（x1）=f（x2），
∴x1≤x≤x2时，f（x）≤f（x1）=f（x2），
由0≤x1＜x2≤2且|x1-x2|≥1，得1∈[x1，x2]，
故f（1）≤f（x1）=f（x2），
又f（x）在（-∞，lna]递减，且0≤x1＜lna，故f（x1）≤f（0），
故f（1）≤f（0），同理f（1）≤f（2），
即，解得：e-1≤a≤e2-e-1，
∴e-1≤a≤e2-e．