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- 2021-04-16 发布
宜城一中 枣阳一中襄州一中 曾都一中
2019—2020 学年上学期高二期中考试数学试题
时间： 120 （分钟）主命题学校 襄州一中 分值： 150 分 命题老师（四名命题老师）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 过两点 A(1, y), B(2,-3) 的直线的倾斜角是135o ，则 y的值为( )
A. 2
B. -2
C.-5
D. 5
2. 设 m，n,q 是不同的直线，a, b是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A. 若m ^ a, m // n, n // b, 则a^ b B. 若a^ b, m Ì a, n Ì b, 则m ^ n
C. m, n Ì a, q ^ m, q ^ n, 则q ^ a D. 若a// b, m Ì a, n Ì b, 则m // n
3. 若直线l1 ： ax + y -1 = 0 与直线l2 ： x + ay +1 = 0 平行，则两平行线间的距离为( )
2
A．1 B．
C. 2 D. 2
2
ur ur ur ur ur
5
4.向量 a ＝ (2,1, x), b ＝ (2, y, -1) ，若| a | ＝ , 且 a ^ b ，则 x + y 的值为( )
A. -1
B．1 C． -4
D．4
2
2
2
5. 在一个平面上，机器人到与点 C（3，-3）的距离为 8 的地方绕 C 点顺时针而行，它在行进过程中到经过点 A (-10，0)与 B（0,10）的直线的最近距离为（ ）
2
A. 8 - 8
B. 8 + 8
C. 8 D.12
2
2
6. 圆 A 的半径为 4，圆心为 A（-1，0）， B（1，0）是圆 A 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线与半径AP 相交于点Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹方程为（ ）
2
2
A . x + y = 1 3 4
B. x2
+ y2
= 16
C . x + y = 1 4 3
D. (x +1)2
+ y2
= 16
3
7. 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = BC = 1 ， AA1 = ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的
余弦值为（ ）
1
A．
5
B. 5 5
C. 5 6
D. 2 2
8.已知圆C : (x - 6)2 + (y - 8)2 = 1 和两点 A (-m,0), B (m,0)(m>0),若圆 C 上存在点 P,使得
ÐAPB = 90° ,则 m 的最大值为（ ）
A. 8 B.9 C.10 D.11
÷
ç
÷
÷
9. 已知向量 a, b, c 是空间的一个单位正交基底，向量 a + b, a - b, c 是空间的另一个基底， 若向量 p 在基底 a, b, c 下的坐标为（3，2，1），则它在 a + b, a - b, c 下的坐标为（ ）
ç
A. æ 1 ,
è 2
5 ,1ö
2 ø
æ 5
B. ç
è 2
,1, 1 ö
2 ø
C. (1, 1 , 5 )
2 2
D. æ 5 ,
è 2
1 ,1ö
2 ø
10. 已知 A（4,0），B(0,4),从点 P(1，0)射出的光线被直线 AB 反射后，再射到直线 0B 上，最后经 OB 反射后回到 P 点，则光线所经过的路程是（ ）
34
3
5
A. B.6 C. 3 D. 2
11. 已知点P（3，1）在椭圆 x 2 + y 2
= 1(a
> b >
0) 上，点
M (a, b)
为平面上一点，O 为坐标原点，
a 2 b 2
则当 OM
取最小值时，椭圆的离心率为( )
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13一个结晶体的形状为平行六面体，以同一个顶点为端点的三条棱长均为 6，且它们彼此的
夹角均为60° ，则以这个顶点为端点的晶体的对角线长为
14.椭圆
x 2 + y 2
= 1 的左右焦点分别为 F F
， 点 P 在椭圆上， 若 PF
= 4 ， 则
9 4 1, 2 1
ÐF1 PF2 =
15.直线 y = k ( x - 2) + 4 与曲线 y = 1+
4 - x 2
仅有一个公共点，则实数的 k 的取值范围是
16.在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中， E ， F 分别为棱 AA1 、 BB1 的中点， M 为棱 A1 B1 （含端点）上的任一点，则直线 ME 与平面 D1 EF 所成角的正弦值的最小值为
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.（10 分）若直线l 的方程为 ax + 2 y - a - 2 = 0(a Î R)
(1) 若直线l与直线m : 2x - y = 0垂直，求a的值.
(2) 若直线l 在两轴上的截距相等，求该直线的方程.
18.（12 分） 椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，已知其短半轴长为 1，半焦距为
3
1，直线 l : x + y - 2 = 0 .
（1） 求椭圆 C 的方程.
（2） 椭圆 C 上是否存在一点，它到直线l 的距离最小, 最小距离是多少？
19.（12 分）阿波罗尼斯（约公元前 262 -190 年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 k (k > 0, k ¹ 1) 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内
两定点 O(0,0),
A(3,0) ，动点 P 满足
= 1 .
PO
PA
2
（1）求点 P 的轨迹方程. （2）求 PO2 + PA2 的最大值。
20.（12 分）设圆C 的圆心在 x 轴的正半轴上，与 y 轴相交于点 A (0,
2
圆C 截得的弦长为 4 .
6 ),且直线 y = x 被
(1) 求圆C 的标准方程；
(2) 设直线 y = -x + m 与圆C 交于 M , N 两点，那么以 MN 为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线 MN 的方程；若不能，请说明理由.
21（.
12 分）如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧棱 SA ^ 底面 ABCD ，
AB 垂直于 AD 和 BC ， M 为棱 SB 上的点， SA = AB =
3,BC = 2 ， AD = 1 .
（1） 若 M 为棱 SB 的中点，求证： AM //平面 SCD ；
（2） 当 SM = MB, DN = 3NC 时，求平面 AMN 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦值；
x2 y2
22. （12 分）已知椭圆 C： +
a2 b2
= 1(a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 P,右
顶点为 Q,直线 PQ 与圆 x2 + y2 = 4 相切于点
5
M ( 2 ,
5
4) .
5
（1） 求椭圆 C 的方程.
（2） 过点 F1 作一条斜率存在的直线l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点，求DABF2 的面积的最大值.