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- 2021-04-16 发布
雅安中学2017—2018学年高二（下）4月月考
数 学 试 题（理科）
命题人：李茂林 审题人：鲜继裕
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，每个小题给出的四个选项中，只有唯一个选项符合题目要求，请将正确答案的序号填涂在答题卡上。）
1．命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
2．复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3．命题，命题，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5．已知矩形平面,则以下等式中可能不成立的是（ ）
A. B. C. D.
6．已知命题：对，总有； 是且的必要不充分条件条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
7．下列命题中正确的命题个数是（ ）
①. 如果共面， 也共面,则共面;
②.已知直线a的方向向量与平面，若// ，则直线a// ;
③若共面，则存在唯一实数使,反之也成立;
④.对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z
（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8．已知直线， 及平面， ， ， .命题：若，则 ， 一定不平行；命题是， 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
9．已知命题：“若是正四棱锥棱上的中点，则”；命题：“是的充分不必要条件”，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
10．平行六面体中，向量两两的夹角均为，且，
,则等于（ ）
A. B. C. D.
11．在直三棱柱中, 已知和分别为和的中点, 与分别为线段和上的动点(不包括端点),若,则线段的长度的取值范围为( )
12． 如图，正方体的棱长为1，中心为， ，，则四面体的体积为（ ）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡上。）
13．若向量， 且，则 .
14．设，则“”是“”的 条件．
15．已知复数满足等式（是虚数单位）.则的最小值是__________.
16．已知半径为1的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是__________．
三、解答题：（本题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤。）
17．设命题函数在上是减函数，命题函数的定义域为全体实数，如果是真命题，求实数的取值范围.
18．已知复数，求分别为何值时，
（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）当时，求Z的共轭复数.
19．如图，在多面体中， 是正方形， 平面， 平面， ，点为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值.
20．已知命题：；命题：．
（1）当时，解不等式；
（2）当时，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，平面CDEF平面，，四边形为平行四边形，且.
（1）求证：CDBF；
（2）若，，直线与平面所成角为，求平面与平面所成二面角的余弦值.
22．如图1所示，在等腰梯形中， .把沿折起，使得，得到四棱锥.如图2所示.
（1）求证：面面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案
一、 选择题
1-5、CDDBC 6-10、BDCCA 11-12、AD
二、填空题
13．和 14．充要条件
15． 16．
16.【解析】
设正四面体的棱长为，
则，
所以，解之得，所以。由向量运算的三角形法则可得，
所以，而，则。由题设可知，即，所以，应填答案。
点睛：本题旨在考查空间向量及空间线面的位置关系等有关知识的综合运用，检测等价化归与转化的数学思想及数形结合的思想和意识及运算求解能力和分析问题解决问题的能力。
三、解答题
17．解析：若真，则，即
若真，则，解得，
是真命题，∴真真，
∴.
18．解析：（1）Z是实数，，得
（2）Z是纯虚数，，且，得
（3）当时，，
得，得
当时，,得；
当时，,得
19．解析：（1）证明：连结，交于点，
∴为的中点，∴.
∵平面， 平面，
∴平面.
∵都垂直底面，
∴.
∵，
∴为平行四边形，∴.
∵平面， 平面，
∴平面.
又∵，∴平面平面.
（2）由已知， 平面， 是正方形.
∴两两垂直，如图，建立空间直角坐标系.
设，则，从而，
∴，
设平面的一个法向量为，
由得.
令，则，从而.
∵，设与平面所成的角为，则
，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
20．解析：（1），
所以对应的两根为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为；
（2）由可得，，
所以，即
由（1）知，当时，不等式的解集为，
所以,
∵是的必要不充分条件，∴是的必要不充分条件．
即，且等号不能同时取，
解得．故实数的取值范围为．
21．解析：（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.
∴，，，
∴，∴，
由已知得为等腰直角三角形，因此，又，
∴平面，∴.
（2）∵，平面，平面，∴平面，
∵平面平面，∴，
由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设可得，进而可得，，，，，，
设平面的法向量为，则，即，
可取，
设平面的法向量为，则，即，
可取，
则 ，
∴二面角的余弦值为.[]
22．解析：（1）证明：在等腰梯形中，可知.因为，可得.
又因为，即，则.
又，可得面，故.
又因为，则，
，则，
所以，
又，所以面，[]
又面，所以面面；
（2）备注：参考答案所给的建系方式比较麻烦，建议以点为坐标原点建系。
设，过点作交于点，
以点为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
在中，∵， ，
∴，则，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
设平面的法向量为，
由，得，
取，可得平面的法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，得，
取，可得平面的一个法向量为.
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.