2020年高中数学新教材同步必修第二册 第8章 微专题3　求二面角的平面角的常见解法 12页

第八章　立体几何初步 二面角是立体几何中最重要的知识点，是高考的热点和重点.求二面角的 常见方法有定义法，三垂线法，垂面法. 一、定义法 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直 于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法. 例1　在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝ ，求二面角V－AB－ C的大小. 解　取AB的中点D，连接VD，CD， ∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2， ∴△VAB为等边三角形， ∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角， 而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°， ∴二面角V－AB－C的大小为60°. 二、三垂线法 是利用三垂线定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法. 这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线.此方法是属于较常用的. 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直， 那么它和这条斜线的射影垂直. 例2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB； 证明　∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC， 又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC， 又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB， ∴BC⊥平面SAB，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB. (2)求二面角A－SC－B的平面角的正弦值. 解　取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，垂足为点D， 由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB， AD⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SBC. 作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE， 则DE⊥SC， 则∠AED为二面角A－SC－B的平面角. 三、垂面法 作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为 二面角的平面角.关键在找与二面角的棱垂直且与二面角两半平面都有交线的平面. 例3　如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别 交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小. 解　∵SB＝BC且E是SC的中点， ∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE. 又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， ∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD. 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， ∴BD⊥DE，BD⊥DC， ∴∠EDC是所求二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC. 又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°. 即所求的二面角等于60°. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.91taoke.com