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- 2021-04-16 发布
江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期数学期初考试 0407
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
2. 若下列不等式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
3. 等差数列中，若,则前9项和= ( )
A.1620 B.810 C.900 D.675
4. 已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是
A. B. ( )
C. D.
5.已知的三内角的对边为，若，则的大小为
A. B. C. D. （ ）
6. 若且，则的最小值为（ ）
A.6 B.12 C. 16 D.24
7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：（ ）
A．3盏 B．6盏 C． 9盏 D． 281盏
8. 已知命题：“在等差数列中，若，则为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.已知是等差数列，其前项和为，满足，则下列四个选项中正确的有（ ）
A. B． C．最小D．
10. 下列选项中，值为的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下列函数中，最小值为4的函数是（ ）
A． B．
C． D．
12. 在三角形ABC中，下列命题正确的有（ ）
A. 若，则三角形ABC有两解
B. 若，则△ABC一定是钝角三角形
C.若，则△ABC一定是等边三角形
D. 若,则ΔABC的形状是等腰或直角三角形
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.
13. 若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．
14. 如图所示,为圆内接四边形,若∠,
∠,则线段 .
15. 设等比数列前项和为，若.则数列的公比= .
16. 若的内角满足，则的最小值是 ．
四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
17. （本小题共10分） 已知、、分别是的三个内角、、所对的边，
(1) 若面积求、的值；
(2)若，且，试判断的形状．
18. （本小题共12分）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝6，S5＝15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Tn.
19. （本小题共12分）解关于的不等式：
20. （本小题共12分）根据下列条件，求数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)．
(3) a1＝，an＋1＝10an＋1.
21. （本小题共12分） 某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．
(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？
下列数据提供计算时参考：
1.19＝2.36
1.004 99＝1.04
1.110＝2.60
1.004 910＝1.05
1.111＝2.85
1.004 911＝1.06
22. （本小题共12分）已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．
(1) 求数列{an}的通项公式
(2) 数列{bn}满足，Tn为数列的前n项和，若对任意恒成立，求范围.
数学期初考试答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. A 8. B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. A BD 10. AB 11. AD 12. BCD
三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.
13. 2 14. 15. 16.
四、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
17. 解：（1），，得 ，
由余弦定理得：，
所以 ……5分
（2）由余弦定理得：，
所以 ；在中，，所以 ，
所以是等腰直角三角形.…10分
18. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，
因为S3＝6，S5＝15，所以即解得
所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.……6分
(2)由(1)得bn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①
所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ②
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，
所以Tn＝2－.……12分
19. 解：当时，原不等式等价于，所以解为…2分
当时，
当时，令得
所以当时，，不等式所对应方程的根为或
此时不等式的解为； …5分
当时，，不等式的解为；…7分
当时，，不等式的解集为……9分
当时， ，原不等式等价于，不等式所对应方程的根
或（且）
所以不等式的解为……11分
综上可知：当时，解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为…12分
20. 解：(1)由题意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1. ……4分
(2)因为an＝an－1(n≥2)，
所以当n≥2时，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，
即＝××2×1，所以an＝.
当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，
所以数列{an}的通项公式为an＝.……8分
(3)解：由an＋1＝10an＋1，得an＋1＋＝10an＋＝10，即＝10.
所以数列是等比数列，其中首项为a1＋＝100，公比为10，
所以an＋＝100×10n－1＝10n＋1，即an＝10n＋1－.……12分
21. 解：(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10＝1.05b，
由题设可知，1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，
2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，
…，
10年后的设备为a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)＝2.6a－x×＝2.6a－16x，
由题设得＝2·，解得x＝.∴每年应更换的旧设备为套．……8分
(2)全部更换旧设备共需a÷＝16年． ……11分
答：（1）每年应更换的旧设备为套
（2）按此速度全部更换旧设备共需16年．……12分
22. 解：(1)Sn＝a＋an，①
当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于an＋an－1≠0，
所以an－an－1＝1，…4分
又当时，a1＝a＋a1，所以 a1＝1，
故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. ……6分
(2)由(1)知bn＝n＋1，
即.
所以
……
因为对任意恒成立，所以……12分