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- 2021-04-16 发布
2017-2018学年江西省南昌市八一中学高二1月月考理科数学试卷
命题人：杨平涛 审题人：叶淑英
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符号题意）
1．命题“若，则”的逆否命题是( )
A．若，则，或 B．若，则
C．若，或，则 D．若，或，则
2． 是的( )
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．函数的导数是( )
A. B. C. D.
4．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设( )
A．三个内角都不大于 B．三个内角都大于
C. 三个内角至多有一个大于 D．三个内角至多有两个大于
5．已知； ，则下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
6.用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( )
A． B．
C． D．
7．在极坐标系中，关于曲线的下列判断中正确的是( )
A．曲线关于直线对称 B．曲线关于直线对称
C．曲线关于点对称 D．曲线关于极点对称
8．已知椭圆的左焦点为，有一小球从处以速度开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
9．若曲线的一条切线为，其中为正实数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10．若将过点的直线的方程与双曲线 的方程联立，得到关于的二次方程，则该二次方程有两相等实根的几何意义是( )
A．为坐标原点 B．点为相交所得弦的中点
C．直线平行于双曲线的渐近线 D．直线为双曲线的一条切线
11．已知过双曲线：﹣=1的中心的直线交双曲线于点、，在双曲线上任取与点、不重合的点，记直线、，的斜率分别为、、，若恒成立，则离心率的取值范围为( )
A． B． C． D．
12．如图， 为椭圆长轴的左、右端点， 为坐标原点， 为椭圆上不同于 的三点，直线围成一个平行四边形，则 ( )
A．14 B．12 C．9 D．7
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是
14．已知函数，求曲线在点处的切线方程____________
15．设函数在可导，且，则
16．已知直线：(为给定的正常数，为参数，)构成的集合为S，给出下列命题：
①当时，S中直线的斜率为；
②S中所有直线均经过一个定点；
③当时，存在某个定点，该定点到S中所有直线的距离都相等；
④当时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为；
⑤S中的所有直线可覆盖整个平面.
其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．设命题 “对任意的，”，命题 “存在，使”．如果命题为真，命题为假，求实数a的取值范围．
18．已知曲线，求经过点的曲线的切线方程．
19．用数学归纳法证明：．
20．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线的极坐标方程为．
(1)M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，
求点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
21．已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．
(1)求椭圆S的方程；
(2)如图，分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限， 过作轴的垂线，垂足为C，连接，并延长交椭圆于点B，设直线的斜率为．
①若直线平分线段，求的值；
②对任意，求证：．
22．设为直线上的动点，过点作抛物线的切线，切点分别为.
(1)求证：直线过定点；
(2)求面积的最小值，以及取得最小值时点的坐标．
高二理科数学答案
1~5 D A D B B
6~10 D A D C D
11~12 D A
13. [-1,3]
14. 3x+y-7=0
15. 2
16. ①③④
17. 由命题 P：“任意x∈R，x2-2x＞a”，可得x2-2x-a＞0恒成立，故有△=4+4a＜0，
a＜-1．由命题Q：“存在x∈R，x2+2ax+2-a=0”，可得△′=4a2-4（2-a）=4a2+4a-8≥0，
解得 a≤-2，或a≥1．再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得 p真Q假，或者 p假Q真．
故a的取值范围为（-2，+∞）．
18.
19.证明：
n=1时，1*4=1*(1+1)^2成立
假设n=k时，命题成立
n=k+1时，1*4+2*7+3*10+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)
=k(k+1)^2 +(k+1)(3k+4)
=(k+1)[k(k+1)+3k+4]
=(k+1)(k^2 +4k+4)
=(k+1)(k+2)^2
∴n=k+1时命题成立了
综上，原命题成立。
20.
21.解：（1）在直线x-y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=-1，∴c=b=1，∴，
则椭圆方程为；
（2）①，
M、N的中点坐标为，所以；②将直线PA方程y=kx代入，解得
，记，则，于是C（m，0），
故直线AB方程为，代入椭圆方程得，
由，
∴，
∴，
∴PA⊥PB。
22.