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- 2021-04-16 发布
河北省武邑中学 2017 届高三上学期第五次调研考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 RU ，集合 0 9, RA x x x 和 4 4, ZB x x x 关系的韦恩
图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）
A．3 个 B． 4 个 C．5 个 D．无穷多个
2.若复数 z 满足 1zi i ，则 z 的共轭复数是（ ）
A． 1 i B．1 i C． 1 i D．1 i
3.与曲线
2 2
124 49
x y 共焦点，且与曲线
2 2
136 64
x y 共渐近线的双曲线方程为（ ）
A．
2 2
116 9
y x B．
2 2
116 9
x y C．
2 2
19 16
y x D．
2 2
19 16
x y
4.某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800 名学生中抽50 名学生做牙
齿健康检查．现将800 名学生从1到800 进行编号，求得间隔数 800 1650k ，即每16人
抽取一个人．在1~ 16 中随机抽取一个数，如果抽到的是 7 ，则从33 ~ 48 这16 个数中应取
的数是（ ）
A． 40 B．39 C．38 D．37
5.已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时， 5xf x m （ m 为常数），则
5log 7f 的值为（ ）
A． 4 B． 4 C． 6 D． 6
6.函数 y f x 的图象向左平移
12
个单位后与函数 cos 22y x
的图象重合，则
y f x 的解析式为（ ）
A． cos 2 2y x
B． cos 2 6y x
C． cos 2 3y x
D． sin 2 6y x
7.设关于 x ， y 的不等式组
2 1 0,
0,
0
x y
x m
y m
表示的平面区域内存在点 0 0,P x y ，满足
0 02 2x y ．求得 m 的取值范围是（ ）
A． 2, 3
B． 1, 3
C． , 1 D． 5, 3
8.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
1
0
xf x
x
， 为有理数
， 为无理数
称为狄利克雷函数，关于函数 f x 有以下四个命题：
① 1f f x ； ②函数 f x 是偶函数；
③任意一个非零有理数T ， f x T f x 对任意 x R 恒成立；
④存在三个点 1 1,A x f x ， 2 2,B x f x ， 3 3,C x f x ，使得 ABC 为等边三角形．
其中真命题的个数是（ ）
A． 4 B．3 C． 2 D．1
9.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下
广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋
脊形状的多面体（如图）”，下底面宽 3AD 丈，长 4AB 丈，上棱 2EF 丈， EF P 平
面 ABCD ． EF 与平面 ABCD 的距离为1丈，问它的体积是（ ）
A． 4 立方丈 B．5 立方丈 C． 6 立方丈 D．8 立方丈
10.在平面直角坐标系中，记抛物线 2y x x 与 x 轴所围成的平面区域为 M ，该抛物线与
直线 y kx （ 0k ）所围成的平面区域为 A ，向区域 M 内随机抛掷一点 P ，若点 P 落在
区域 A 内的概率为 8
27
，则 k 的值为（ ）
A． 1
3
B． 2
3
C． 1
2
D． 3
4
11.下图是三棱锥 D ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线
DO 和 AB 所成角的余弦值等于（ ）
A． 1
2
B． 2
2
C． 3
3
D． 3
12.已知函数
2 4 3 3 , 0,
log 1 1, 0a
x a x a x
f x
x x
（ 0a 且 1a ）在 R 上单调递减，且关
于 x 的方程 2f x x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ）
A． 20, 3
B． 2 3,3 4
C. 1 2 3,3 3 4
D． 1 2 3,3 3 4
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量 a
，b
的夹角为
3
，且 1a a b
， 2a ，则 b ．
14.
3
2
2
1 2x x
展开式中的常数项为 ．
15.如图，已知抛物线的方程为 2 2x py （ 0p ），过点 0, 1A 作直线l 与抛物线相交
于 P ，Q 两点，点 B 的坐标为 0,1 ，连接 BP ，BQ ，设QB ，BP 与 x 轴分别相交于 M ，
N 两点．如果QB 的斜率与 PB 的斜率的乘积为 3 ，则 MBN 的大小等于 ．
16.用 x 表示不超过 x 的最大整数，例如 3 3 ， 1,2 1 ， 1,3 2 ．已知数列 na
满足 1 1a ， 2
1n n na a a ，则 20161 2
1 2 20161 1 1
aa a
a a a
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17. （本小题满分 10 分）
设 na 是公比大于1的等比数列， nS 为数列 na 的前 n 项和，已知 3 7S ，且 1a ， 2a ， 3 1a
成等差数列．
（1）求数列 na 的通项公式；
（2）若 4 2 1logn nb a ， 1n ， 2 ， 3 ，求和：
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1
n nb b b b b b b b
．
18. （本小题满分 12 分）
某企业通过调查问卷（满分 50 分）的形式对本企业900 名员工的工作满意度进行调查，并
随机抽取了其中30 名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：
（1）根据以上数据，估计该企业得分大于 45 分的员工人数；
（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为 40.5 分，若规定大于平均得分为“满意”，
否则为“不满意”，请完成下列表格：
（3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1% 的
前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？
参考数据：
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
19. （本小题满分 12 分）
已知函数 22 3sin cos 2cosf x x x x ．
（1）求
24f
的值；
（2）若函数 f x 在区间 ,m m 上是单调递增函数，求实数 m 的最大值．
20. （本小题满分 12 分）
四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， 90ADC BCD ， 2BC ，
3CD ， 4PD ， 60PDA ，且平面 PAD 平面 ABCD ．
（1）求证： AD PB ；
（2）在线段 PA 上是否存在一点 M ，使二面角 M BC D 的大小为
6
，若存在，求出 PM
PA
的值；若不存在，请说明理由．
21. （本小题满分 12 分）
如图所示，抛物线 1C ： 2 4x y 在点 A ，B 处的切线垂直相交于点 P ，直线 AB 与椭圆 2C ：
2 2
14 2
x y 相交于C ， D 两点．
（1）求抛物线 1C 的焦点 F 与椭圆 2C 的左焦点 1F 的距离；
（2）设点 P 到直线 AB 的距离为 d ，试问：是否存在直线 AB ，使得 AB ， d ， CD 成
等比数列？若存在，求直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由．
22. （本小题满分 12 分）
已知函数 lnf x x ．
（1）若函数 F x tf x 与函数 2 1g x x 在点 1x 处有共同的切线l ，求t 的值；
（2）证明： 1
2
f xf x x x
；
（3）若不等式 mf x a x 对所有 30, 2m
， 21,x e 都成立，求实数 a 的取值范围．
2016—2017 高三第五次调研考试数学试题（理科）答案
一、选择题
1-5: B C A B D 6-10: D A A B A 11、12： C C
二、填空题
13.3 14. 20 15.
3
16. 2015
三、解答题
17.解：（1）由已知得： 1 2 3
1 3 2
7
1 2
a a a
a a a
，解得 2 2a …………………………2 分
设数列 na 的公比为 q ，由 2 2a ，可得 1
2a q
， 3 2a q ，
（2）由（1）得 2
2 1 2 4n n
na ，由于 4 2 1logn nb a ， 1n ， 2 ，，
4log 4n
nb n ．……7 分
1 2 2 3 3 4 1
1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 3 1n nb b b b b b b b n n
1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1n n n
………………………………………10 分
18.解：（1）从表中可知，30 名员工中有8 名得分大于 45 分，所以任选一名员工，他（她）
的得分大于 45 分的概率是 8 4
30 15
，所以估计此次调查中，该单位约有 4900 24015
名
员工的得分大于 45 分．…4 分
（2）依题意，完成 2 2 列联表如下：
……………………………………………………8 分
（3）假设 0H ：性别与工作是否满意无关，根据表中数据，求得 2K 的观测值
230 12 11 3 4 8.571 6.63515 15 16 14k
，查表得
2 6.635 0.010.8P K ……………………10 分
能在犯错误的概率不超过1% 的前提下，认为性别与工作是否满足有
关．……………………12 分
19.解：（1） 3sin 2 cos2 1f x x x
3 12 sin 2 cos2 1 2sin 2 12 2 6x x x
………………………3 分
2sin 1 2sin 1 2 124 12 6 4f
…………………………5 分
（2）由 2 2 22 6 2k x k ， k Z 得
3 6k x k ， k Z
f x 在区间 ,3 6k k
（ k Z ）上是增函数……………………8 分
当 0k 时， f x 在区间 ,3 6
上是增函数，若函数 f x 在区间 ,m m 上是单调递
增函数，
则 , ,3 6m m
………………………10 分
6
3
0
m
m
m
，解得 0 6m m 的最大值是
6
………………………12 分
20.解：证明：（1）过 B 作 BO CDP ，交 AD 于O ，连接 OP ．
AD BC P ， 90ADC BCD ，CD OBP ，四边形 OBCD 是矩形，
OB AD ． 2OD BC ，
4PD ， 60PDA ， 2 2 2 cos60 2 3OP PD OD PD OD ．…………2
分
2 2 2OP OD PD ， OP OD ．又OP 平面OPB ，OB 平面OPB ，
OP OB O ，
AD 平面OPB ，……3 分
PB 平面OPB ， AD PB ．………………………5 分
（2）平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ，OA AD ，
OP 平面 ABCD ．
以O 为原点，以OA ，OB ， OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，…………………7 分
如图所示：
则 0, 3,0B ， 2, 3,0C ，假设存在点 ,0,M m n 使得二面角 M BC D 的大小为
6
，则 , 3,MB m n ， 2,0,0BC ．
设平面 BCM 的法向量为 , ,n x y z ，则 0
0
m BC
m MB
．
2 0
3 0
x
mx y nz
，令 1y 得 30,1,n n
．………9 分
OP 平面 ABCD ，
0,0,1n 为平面 ABCD 的一个法向量．…………………10 分
2
3
3cos , 23 1
m n nm n
m n
n
．……………………11 分
解得 1n ． 1 2 3 1 6 3
62 3
PM PO
PA PO
．…………………12 分
21.解：（1）抛物线 1C 的焦点 0,1F ，
椭圆 2C 的左焦点 1 2,0F ，则 1 3FF ．……………………2 分
（2）设直线 AB ： y kx m ， 1 1,A x y ， 2 2,B x y ， 3 3,C x y ， 4 4,D x y ，
由 2
,
4 ,
y kx m
x y
得 2 4 4 0x kx m ，
故 1 2 4x x k ， 1 2 4x x m ．………………………4 分
由 2 4x y ，得
2
xy ，
故切线 PA ， PB 的斜率分别为 1
2PA
xk ， 2
2PB
xk ，………………………5 分
再由 PA PB ，得 1PA PBk k ，即 1 2 1 2 4 12 2 4 4
x x x x m m ，
故 1m ，这说明直线 AB 过抛物线 1C 的焦点 F ．……………………6 分
由
2
1 1
2
2 2
2 4
,2 4
x xy x
x xy x
，
得 1 2 22
x xx k ，
2 2 2
1 1 1 1 2 1 1 2
1 12 12 4 4 4 4 4
x x x x x x x xy k kx x ，
即 2 , 1P k ．……………………………………8 分
于是点 2 , 1P k 到直线 AB ： 1 0kx y 的距离
2
2
2
2 2 2 1
1
kd k
k
．
由 2 2
1,
1,4 2
y kx
x y
得 2 21 2 4 2 0k x kx ，
从而
2 2 2
2 2
2 2
4 4 1 2 2 8 1 4
1 11 2 1 2
k k k
CD k kk k
，
同理， 24 1AB k ………………………10 分
若 AB ， d ， CD 成等比数列，则 2d AB CD ，
即 22
2 2 2
2
8 1 4
2 1 4 1 1 1 2
k
k k k k
，
化简整理，得 4 228 36 7 0k k ，此方程无实根，
所以不存在直线 AB ，使得 AB ， d ， CD 成等比数列………………………12 分
22.解：（1） 2g x x ， lnF x tf x t x ， tF x tf x x
，
F x tf x 与 2 1g x x 在点 1x 处有共同的切线l ，
1 1k F g ，即 2t ，……………………………4 分
（2）令 h x f x x ，则 1 11 xh x x x
，
则 h x 在 0,1 上是增函数，在 1, 上是减函数，
h x 的最大值为 1 1h ， h x 的最小值是1，…………………………6 分
设 1 ln 1
2 2
f x xG x x x
， 2
1 ln xG x x
，
故 G x 在 0,e 上是增函数，在 e, 上是减函数，故 max
1 1 1e 2G x ，
1
2
f xf x x x
；………………………8 分
（3）不等式 mf x a x 对所有的 30, 2m
， 21,ex 都成立，
则 lna m x x 对所有的 30, 2m
， 21,ex 都成立，
令 lnH x m x x ， 30, 2m
， 21,ex 是关于 m 的一次函数，
21,ex ， ln 0,2x ，当 0m 时， H m 取得最小值 x ，
即 a x ，当 21,ex 时，恒成立，故 2ea ．……………………………12 分