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- 2021-04-16 发布
凯里一中2017-2018学年度第二学期期末考试
高二理科数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 已知复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（ ）
A． 2 B． C． D．4
3. 已知是公差为2的等差数列，为数列的前项和，若，则（ ）
A． 50 B． 60 C． 70 D． 80
4. 设，向量，且，则（ ）
A． 5 B． 25 C. D．10
5.函数的部分图象可能是 （ ）
A． B． C. D．
6.某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为 （ ）
A． 6 B． 3 C. 2 D．4
7. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以照表：
（单位：）
17
14
10
-1
（单位：度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当气温为时，用电量约为（ ）
A． 56度 B． 62度 C. 64度 D．68度
8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德车汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的为（ ）
A． 5 B． 6 C. 7 D．8
9. 已知函数最小正周期为，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C. 关于点对称 D．关于点对称
10. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
11. 已知双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比为1：2的两部分，则此双曲线的离心率等于（ ）
A． 2 B． C. D．3
12.已知是定义在上的偶函数，且满足，若当时，，则函数在区间上零点的个数为 （ ）
A．2018 B．2019 C. 4036 D．4037
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4个小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.曲线在处的切线方程为 ．
14.已知变量满足约束条件，则的最大值与最小值的积为 ．
15. 展开式的常数项为80，则实数的值为 ．
16.设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角所对的边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
18.已知正项等比数列的前项和为，若，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
19. 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查，得到如下数据：
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
每周移动支付次数
男
10
8
7
3
2
15
女
5
4
6
4
6
30
合计
15
12
13
7
8
45
（1）把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，由以上数据完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？
移动支付活跃用户
非移动支付活跃用户
总计
男
女
总计
100
（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户.为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元，记奖励总金额为，求的分布列及数学期望.
附公式及表如下：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）中，已知，点为的中点.
（1）求证：平面平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.
21. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆相交于两点，
①若线段中点的横坐标为，求的值；
②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.
22.已知函数（为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）记函数的导函数，当且时，证明：.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
试卷答案
一、选择题
1-5: CBDAB 6-10: CABDC 11、12：AD
二、填空题
13. 14. -8 15. -2 16.
三、解答题
17.解：（1）由题意得：，
∵，∴，即，
又∵，∴；
（2）∵，∴，即，
∴
18.解：（1）由题意得：
∵，∴，即，
解得：或（舍去）
又∵，
∴，∴；
（2）∵，∴，
∴，
又∵为递增数列，的最小值为：
∴.
19.解：（1）由表格数据可得2×2列联表如下：
非移动支付活跃用户
移动支付活跃用户
合计
男
25
20
45
女
15
40
55
合计
40
60
100
将列联表中的数据代入公式计算得：
所以在犯错误概率不超过0.005前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.
（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，
该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为，记抽出的男“移动支付达人”人数为，则，由题意得，
∴，
；
，
所以的分布列为
0
1
2
3
4
所以的分布列为
0
300
600
900
1200
由，得的数学期望元
（或元）
20.（1）由题意知：为的中点，∴，
由平面得：，
∵平面，且，
∴平面，又∵平面，∴平面平面；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
因此.
设为平面的一个法向量，则，即
，取，则，
，设直线与平面所成角为，
则，
∵，∴
∴，
所以直线与平面所成角的正切值为.
21.（1）由题意得：① ，②，
由①②解得：，∴，
∴椭圆的方程为；
（2）由消去得，
，
设，则，
① ∵线段的中点的横坐标为，所以，即，
所以；
② 假设存在定点使得为定值，设点，
所以
为定值，
即，故，
解得：，所以当时为定值，定值为.
22.解：（1）的定义域为，
①当时，；
③ 当时，令，得，令，得，
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；在上单调递减；
（2）当时，，
设函数，则，记，，
则，当变化时，的变化情况如下表：
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增
由上表可知而，
由，知，所以，所以，即，
所以在内为单调递增函数，所以当时，
即当且时，，
所以当且时，总有.