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- 2021-04-16 发布
2018-2019学年河北省张家口市第一中学高一下学期开学考试数学试题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合， ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数是上的偶函数，则
A．5 B．-5 C．7 D．-7
4．下列说法正确的是（ ）
A．小于的角是锐角 B．钝角是第二象限的角
C．第二象限的角大于第一象限的角 D．若角与角的终边相同，则
5．将函数的图象向右移个单位后，所得图象关于轴对称，则的最小值为
A．2 B．1 C． D．
6．已知平面向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
8．为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A．向左平移个长度单位 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
9．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则其最大值为（ ）
A. B. C. D.
11．若直角坐标系内、两点满足：（1）点、都在图象上；（2）点、关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”．已知函数，则的“和谐点对”有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
12．若，设函数的零点为，的零点为，则的取值范围是
A．(3.5，＋∞) B．(1，＋∞) C．(4，＋∞) D．(4.5，＋∞)
第II卷（非选择题，共90分）
二、 填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则___________．
14．已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围为_______．
15．已知偶函数对任意满足，且当时， ，则的值为__________．
16．在中， ， ， ，线段在斜边上运动，且，设，则的取值范围是__________．
三、解答题
17．（本题10分）
(1)先将log2x＝改写成指数式，再求式中x的值．
(2)已知6a＝8，试用a表示log68+log62+log26.
18．（本题12分）
二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同．已知函数g(x)的解析式和f(x)图像的顶点，写出函数f(x)的解析式．
(1)函数g(x)＝x2，f(x)图像的顶点是(4，－7)；
(2)函数g(x)＝－2(x＋1)2，f(x)图像的顶点是(－3,2)．
19．（本题12分）
已知函数．
（）求函数的最小正周期．
（）求函数在区间上的值域．
20．（本题12分）
已知锐角α、β满足cosα=,tan（α－β）=,求cosβ.
21．（本题12分）
据悉河北某地区2018年现有人口总数为110万人，如果年自然增长率为％，试解答以下问题：
（1）写出经过年后，该地区人口总数（单位：万人）关于的函数关系式；
（2）计算10年以后该地区人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算经过多少年后该地区人口将达到150万人（精确到1年）
（参考数据：
22．（本题12分）
已知函数（为实常数且）。
（Ⅰ）当时；
①设，判断函数的奇偶性，并说明理由；
②求证：函数在上是增函数；
（Ⅱ）设集合，若，求的取值范围（用表示）。
参考答案
1．A2．D3．B4．B5．B6．D7．D8．A9．B10．A11．B12．B
13．14． 15．1 16．
17． (1)①因为log2x＝，所以x＝.
②因为logx3＝，所以，所以x＝3－3＝.
(2)①log68＝a.
②由6a＝8得6a＝23，即，所以.
③由得，所以.
18．【详解】
(1)因为f(x)与g(x)＝x2的图像开口大小相同，开口方向也相同，
f(x)图像的顶点是(4，－7)，
所以f(x)＝(x－4)2－7＝x2－8x＋9.
(2)由题意知，f(x)的二次项系数为－2，
又因为f(x)图像的顶点是(－3,2)，
所以f(x)＝－2(x＋3)2＋2＝－2x2－12x－16.
19．试题解析：
（），
．
∴的最小正周期．
（）∵，
∴，，
∴，
∴，
即.
20．【解析】∵α为锐角，且cosα=，∴sinα=.
又∵0<α<，0<β<，
∴－<α－β<.
又∵tan（α－β）=<0,
∴cos（α－β）=.
从而sin（α－β）=tan（α－β）cos（α－β）=.
∴cosβ=cos［α－（α－β）］=cosαcos（α－β）+sinαsin（α－β）
=×
=.
21．试题解析：
（1）由题可知：
（是正整数）
(2)当时，
答：10年后遵义市人口总数为124.0万人.
(3)令，即
解得：
答：26年后遵义市人口总数将达到150万人.
22．【详解】
（Ⅰ）①函数为偶函数，证明如下：
当a=1，b=3时， ，∴g(x)＝f(x+2)＝ ，
其定义域为{x|x≠1且x≠-1}，函数的定义域关于坐标原点对称，
g(-x)==g(x),故g（x）是偶函数.
② ，
令u（x）= ，
易知u（x）在上是增函数，u（x）的值域为[-1,0), f（u）=在[-1,0)上增函数，故在上是增函数.
（Ⅱ）因为M∩N=∅，所以函数y=f（x）与y=的图象无公共点，
即方程 （﹡）无无实解,
,
当λ=0时,方程无解，显然符合题意，
当λ≠0时，令y＝(x−a)(x−b) = ，
令t=，则y= ，
当t=时，ymin=，
所以，要使（﹡）无实数解，只要 ，
综上，