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- 2021-04-16 发布
2020 年春四川省泸县第一中学高二期中考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．若复数 满足 （其中 是虚数单位），则
A．2 B．4 C． D．
3．设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象,且 f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的平
均数与标准差分别是
A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10
4．在边长为 2 的菱形 中， ， 是 的中点，则
A． B． C． D．
{ }2| ,M y y x x R= = − ∈ { }| 1 3N x x= − < ≤ M N =
( ]1,3− [ ]0,3 ( ]1,0− ( )1,0−
z 2(2 ) 4 (1 )i z i+ = − + i | |z =
5 2 5
ABCD 60BAD °∠ = E BC AC AE⋅ =
3 3
3
+ 9
2 3 9
5．已知 ，则“ ”是“ 是第三象限角”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在等差数列{푎푛}中，已知푎1 = 2，푎2 + 푎3 = 16，则푎4 + 푎5 + 푎6等于
A．50 B．52 C．54 D．56
7．在 2018 年合肥市高中生研究性学习课题展示活动中，甲、乙、丙代表队中只有一个队获
得一等奖，经询问，丙队代表说：“甲代表队没得—等奖”；乙队代表说：“我们队得了一等
奖”；甲队代表说：“丙队代表说的是真话”。事实证明，在这三个代表的说法中，只有一个说
的是假话，那么获得一等奖的代表队是
A．甲代表队 B．乙代表队 C．丙代表队 D．无法判断
8． 的展开式中的常数项为
A．12 B． C． D．
9．有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就坐，规定前排中间的 3 个座
位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的排法种数是
A．234 B．346 C．350 D．363
10．已知函数 f（x）= 是奇函数，若 f（2m-1）+f（m-2）≥0，则 m 的取值范围为
A． B． C． D．
11．在四面体 中， 与 均是边长为 的等边三角形，二面角
的大小为 ，则四面体 外接球的表面积为
A． B． C． D．
( )5
3
12 1 xx
+ −
12− 8− 18−
4
2
x
x
a+
1m > 1m ≥ 1m < 1m ≤
ABCD BCD∆ ACD∆ 4 A CD B− −
60 ABCD
208
9
π 52
9
π 64
3
π 52
3
π
12．已知函数 ， ，若对任意 ，都存在 ，
使得不等式 成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．设随机变量 ， ，若 ，则 的值为
__________．
14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1，S2，体积分别为 V1，V2，若它们的侧面积相等，
且 ＝ ，则 的值是________．
15．若函数 为偶函数，则 __________．
16．若函数 在区间 上有极值,则实数 a 的取值范围为_________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60
分。
17． （12 分）山东省《体育高考方案》于 2012 年 2 月份公布，方案要求以学校为单位进行
体育测试，某校对高三 1 班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对 50 分以上
的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若 90~100 分数段的人数为 2 人.
（Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数 M；
（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、
第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于 20，则称这两人为“帮扶
( ) 2lnxf x e x= − 2( ) 4g x x x m= − + 1 [1, ]x e∈ 2 [1, ]x e∈
1 2( ) ( )f x g x> m
( , 3)e−∞ + ( , 4)e−∞ + 2( ,5 )e e−∞ − ( , 2)ee−∞ +
~ (2, )B pξ ~ (4, )B pη 5( 1) 9p ξ ≥ = ( 2)p η ≥
1
2
S
S
9
4
1
2
V
V
( )( ) ln 1xf x e ax= + +
1
1e x dxx a
− = ∫
( ) x
x af x e
−= ( )0,2
组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.
18．（12 分）已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，若函数 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围.
19．（12 分）某市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为
进行曝光.交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了
人，得到如图示的列联表：
闯红灯 不闯红灯 合计
年龄不超过 岁
年龄超过 岁
合计
（Ⅰ）能否有 的把握认为闯红灯行为与年龄有关？
（Ⅱ）下图是某路口监控设备抓拍的 个月内市民闯红灯人数的统计图.请建立 与 的回归
方程 ，并估计该路口 月份闯红灯人数.
( ) ( )2 6 3lnf x ax a x x= − + + a R∈
1a = ( )y f x= ( )( )1, 1f
0a > ( )f x [ ]1,3e 6− a
200
45 6 74 80
45 24 96 120
30 170 200
97.5%
5 y x
ˆˆ ˆy bx a= + 6
附：
，
参考数据： ，
20．（12 分）如图，四边形 为矩形，平面 平面 ， ，
， ， ，点 在线段 上.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 的余弦值为 ，求 的长度.
21．（12 分）已知 ， .
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
1
22
1
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−
=
−
∑
∑
ˆˆa y bx= −
( )2P K k≥ 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
5
2
1
685i
i
y
=
=∑ 5
1
1966i i
i
x y
=
=∑
ABCD ABEF ⊥ ABCD / /EF AB
90BAF∠ = ° 2AD = 1AB AF= = P DF
AF ⊥ ABCD
D AP C− − 6
3
PF
( ) 2 2ln 1 2
xf x x x a
−= − − + 0a >
（Ⅰ）当 时，求函数 图象在 处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；
（III）若 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在平面直角坐标系中，以原点为极点， 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐
标方程为 .
（Ⅰ）若 的参数方程中的 时，得到 点，求 的极坐标和曲线 直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 ， 和曲线 交于 两点，求 .
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
2a = ( )f x 1x =
[ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a
( )f x a
x
l
2
2
22 2
x t
y t
=
= +
t C
4ρ =
l 2t = − M M C
(0,2)P l C ,A B 1 1
PA PB
+
若函数 的最小值为 2．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，且 ，证明： ．
2020 年春四川省泸县第一中学高二期中考试
理科数学参考答案
1-5:CABDB 6-10:CCCBB 11-12:AB
13． 14． 15． 16．
17．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60 分的频率为 0.1, 60~70 分的频率为 0.25, 70~80 分的
频率为 0.45, 80~90 分的频率为 0.15, 90~100 分的频率为 0.05； ……………2 分
∴这组数据的平均数 M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4 分
( ) 1 2 ( 0)f x x x a a= − + − >
a
, ,u v w R+∈ u v w a+ + = 2 2 2 2u v w a+ + ≥
11
27
3
2
2e ( )1,1−
(Ⅱ)∵90~100 分数段的人数为 2 人，频率为 0.05；
∴参加测试的总人数为 =40 人，……………………………………5 分
∴50~60 分数段的人数为 40×0.1=4 人， …………………………6 分
设第一组 50~60 分数段的同学为 A1，A2，A3，A4；第五组 90~100 分数段的同学为 B1，B2
则从中选出两人的选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，
A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，
B2），（B1，B2），共 15 种；其中两人成绩差大于 20 的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，
B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共 8
种 …………………………11 分
则选出的两人为“帮扶组”的概率为
18．（1）当 a＝1 时，f（x）＝x2﹣7x+3lnx（x＞0），
∴ ，∴f（1）＝﹣6，f'（1）＝﹣2．
∴切线方程为 y+6＝﹣2（x﹣1），即 2x+y+4＝0．
（2）函数 f（x）＝ax2﹣（a+6）x+3lnx 的定义域为（0，+∞），
当 a＞0 时， ，
令 f'（x）＝0 得 或 ，
①当 ，即 a≥3 时，f（x）在[1，3e]上递增，
∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 f（1）＝﹣6，符合题意；
②当 ，即 时，f（x）在 上递减，在 上递增，
2
0.05
8
15P=
( ) 3' 2 7f x x x
= − +
( ) ( ) ( ) ( )( )22 6 3 2 1 33' 2 6 ax a x x axf x ax a x x x
− + + − −= − + + = =
1
2x = 3x a
=
30 1a
≤＜
31 3ea
＜ ＜ 1 3ae
＜ ＜ 31 a
， 3 3ea
，
∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 ，不合题意；
③当 ，即 时，f（x）在[1，3e]上递减，
∴f（x）在[1，3e]上的最小值为 f（3e）＜f（1）＝﹣6，不合题意．综上，a 的取值范围是
[3，+∞）．
19．（1）由列联表计算 ,
所以有 的把握认为闯红灯行为与年龄有关.
（2）由题意得， ，
当 时，
所以估计该路口 月份闯红灯人数为 （ 也可）
20．（1）证明：∵ ，∴ ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）以 为原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ，
( )3 1 6f fa
= − ＜
3 3ea
≥ 10 a e
≤＜
( )2
2 200 6 96 74 24
30 170 80 120K
× − ×= × × × 5.882 5.024≈ >
97.5%
( )1 1 2 3 4 5 35x = + + + + = ( )1 158 143 134 130 120 1375y = + + + + =
5
1
5 22
1
5
5
i i
i
i
i
x y xy
b
x x
=
=
−
∴ = =
−
∑
∑
$ 1966 5 3 137 8.955 5 9
− × × = −− × 137a y bx∴ = − =$ $ ( )8.9 3 163.7− − × =
8.9 163.7y x∴ = − +$ 6x = 8.9 6 163.7 110.3y = − × + =$
6 110 111
90BAF∠ = ° AB AF⊥
ABEF ⊥ ABCD ABEF ABCD AB= AF ⊂ ABEF
AF ⊥ ABCD
A AB AD AF x y z
( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )1,2,0C ( )0,2,0D ( )0,0,1F
( )0,2, 1FD = − ( )1,2,0AC = ( )1,0,0AB =
由题知， 平面 ，
∴ 为平面 的一个法向量，
设 ，则 ，∴ ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
∴ ，令 ，可得 ，
∴ ，得 或 （舍去），
∴ .
21．解：（1）当 时， ， ，则 .
又因为 ，所以函数 图象在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）因为
所以 ，
且 .因为 ，所以 .
①当 时，即 ，
因为 在区间 上恒成立，所以 在 上单调递增.
AB ⊥ ADF
( )1,0,0AB = ADF
( )0 1FP FDλ λ= ≤ < ( )0,2 ,1P λ λ− ( )0,2 ,1AP λ λ= −
APC ( ), ,x y z=m 0
0
m AP
m AC
⋅ =
⋅ =
( )2 1 0
2 0
y z
x y
λ λ + − =
+ =
1y = 22,1, 1m
λ
λ
= − −
2
2 6cos , 321 4 1 1
m AB
m AB
m AB λ
λ
⋅
= = =
⋅ + + −
1
3
λ = 1λ = −
5
3PF =
2a = ( ) 2 2ln 3
xf x x x
−= − +
( ) ( )2
1 8'
3
f x x x
= −
+ ( ) 1' 1 2f =
( )1 0f = ( )f x 1x = ( )1 12y x= −
2 1 0x y− − =
( ) 2 2ln 1 2
xf x x x a
−= − − +
( ) ( )2
1 4'
1 2
af x x x a
= − =
− + ( )
2 2
2
2 4 4 1
1 2
x x a a
x x a
− + − + =
− +
( )
( )
2 2
2
1 4 4
1 2
x a a
x x a
− + −
− +
( )1 0f = 0a > 1 2 1a− <
24 4 0a a− ≥ 1a ≥
( )' 0f x > ( )1,+∞ ( )f x ( )1,+∞
当 时， ，所以 满足条件.
②当 时，即 时，
由 ，得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 时， ，这与 时， 恒成立矛盾.
所以 不满足条件.;综上， 的取值范围为 .
（3）①当 时，
因为 在区间 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 不存在极值，所以 不满足条件.
②当 时， ，所以函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，
列表如下：
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由于 在 是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，
[ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 0f x f≥ = 1a ≥
24 4 0a a− < 0 1a< <
( )' 0f x = ( )2
1 1 2 0,1x a a= − − ∈ ( )2
2 1 2 1,x a a= + − ∈ +∞
( )21,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )21, x
( )21,x x∈ ( ) ( )1 0f x f< = [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥
0 1a< < a [ )1,+∞
1a ≥
( )' 0f x ≥ ( )0,+∞ ( )f x ( )0,+∞
( )f x 1a ≥
1 12 a< < 1 2 0a− < ( )f x ( )0,+∞
( )' 0f x = ( )2
1 1 2 0,1x a a= − − ∈ ( )2
2 1 2 1,x a a= + − ∈ +∞
x ( )10, x 1x ( )1 2,x x 2x ( )2 ,x +∞
( )'f x + 0 - 0 +
( )f x
( )f x ( )1 2,x x
所以 不满足条件.
③当 时，由 ，得 .
列表如下：
↘ 极小值 ↗
此时 仅存在极小值，不合题意，所以 不满足条件.
④当 时，函数 的定义域为 ，
且 ， .
列表如下：
↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
所以 存在极大值 和极小值 ，
此时
1 12 a< <
1
2a = ( )' 0f x = 2x =
x ( )0,2 2 ( )2,+∞
( )'f x - 0 +
( )f x
( )f x 1
2a =
10 2a< < ( )f x ( ) ( )0,1 2 1 2 ,a a− ∪ − +∞
2
10 1 2 1 2x a a a< = − − < − 2
2 1 2 1 2x a a a= + − > −
x ( )10, x 1x
( )1,1 2x a− ( )21 2 ,a x−
2x ( )2 ,x +∞
( )'f x + 0 - - 0 +
( )f x
( )f x ( )1f x ( )2f x
( ) ( )1 2f x f x− = 1 2
1 2
1 2
2 2 2 2ln ln1 2 1 2
x xx xx a x a
− −− − +− + − +
,因为 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 满足条件.综上，所以 的取值范围为 .
22．（1）当 时,点 的直角坐标为 ,所以 的极坐标为 ，曲线 的
直角坐标方程：
（2）将直线 的参数方程 代入 ,得: ,得
,
设 两点对应公的参数为 ,则
所以 .
23．（Ⅰ）解：当 时， 最小值为 ，
( )
( )( )1 21
2 1 2
4ln 1 2 1 2
a x xx
x x a x a
−= − − + − + 1 20 1 2x a x< < − <
1
2
ln 0x
x
<
1 2 0x x− < 1 1 2 0x a− + < 2 1 2 0x a− + >
( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x<
10 2a< < a 10, 2
2t = − M ( 1,1)− M 3( 2, )4M π C
2 2 16x y+ =
l
2
2
22 2
x t
y t
=
= +
2 2 16x y+ = 2 22 2( ) (2 ) 162 2t t+ + =
2 2 2 12 0t t+ − =
,A B 1 2,t t 1 2 1 22 2, 12t t t t+ = − ⋅ = −
22
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( 2 2) 4 ( 12) | | | | ( ) 41 1 14
| | | | | | | | 12 6
t t t t t t
PA PB t t t t
− − ⋅ −+ + −+ = = = =⋅
12
a ≥ ( )
3 1 , 2
1, 1 2
3 1, 1
ax a x
af x x a x
x a x
− − >
= − + − ≤ ≤
− + + <
12 2
a af = − 6a =
当 时， 最小值为 ， （舍）
综上所述， .
（Ⅱ）证明：∵
∴
12
a < ( )
3 1 , 1
1, 12
3 1, 2
x a x
af x x a x
ax a x
− − >
= − + ≤ ≤
− + + <
12 2
a af = − + 2a = −
6a =
6u v w+ + = ( )( ) ( )22 2 2 2 2 21 1 1 36u v w u v w+ + + + ≥ + + =
2 2 2 12 2u v w a+ + ≥ =