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- 2021-04-16 发布
一、教学目标：
掌握导数研究函数的单调性、极值、最值、图象问题；
二、重点和难点:
综合运用导数与函数、方程、不等式等知识点。
三、名师导学
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今天我们介绍，用导数的方法研究函数单调性。通过单调性与导数的关系，进而求得原函数的解析式，一起来看。
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用导数研究曲线的切线，是导数的一个重要功能。然而什么是曲线的切线？导数与切有着什么样的关系？我们为什么要研究切线？这一系列问题你是否能够回答呢？本讲的内容从切线的定义出发，讨论一些切线的性质；也为大家梳理一下导数与切线之间的关系。希望同学们能通过本讲从题海中跳出来，不仅只会求切线方程，还要明白切线背后的含义。
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高中阶段，同学们学习了导数，用导数研究函数的单调性与极值是现今高考的重点与难点。今天我们主要讨论，在研究函数极值、最值时的一些认知误区，希望同学们引起重视，从而在做题中避免出错。
知识点集训
1.函数的单调性与导数
（1）设函数在某个区间可导，
如果，则在此区间上为增函数；
如果，则在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内恒有，则为常函数。
2．函数的极点与极值：当函数在点处连续时，
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
3．函数的最值：
一般地，在区间上连续的函数在上必有最大值与最小值。函数
求函数的一般步骤：①求函数的导数，令导数解出方程的跟②在区间列出的表格，求出极值及的值;③比较端点及极值点处的函数值的大小，从而得出函数的最值
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
典例精讲
1、函数的单调递增区间是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
2、（2013年北京高考文）已知函数．
（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求与的值．
（Ⅱ）若曲线与直线有两个不同的交点，求的取值范围．
【答案】见解析．
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【解析】
(2)令，得．
与的情况如下：
0
－
0
＋
1
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，是的最小值．
当时，曲线与直线最多只有一个交点；
当时，，，所以存在，，使得
3、已知函数．
（1）写出函数的定义域，并求其单调区间；
（2）已知曲线在点处的切线是，求的值
【答案】
⑴函数的定义域为：．
∵，∴．
令，则．
当在上变化时，的变化情况如下表
∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是．
⑵由题意可知：，
曲线在点处的切线的斜率为．
∴切线方程为．
∴．∴．
由题意知，切线方程为，∴．∴．
∴曲线在点处的切线的斜率．
【解析】（1）求导分析单调区间；（2）根据导数求出斜率，将直线方程用表示出来
4、设是R上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
5、设f(x)=a(x－5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(Ⅰ)确定a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值.
【答案】解:(Ⅰ)因为f(x)=a(x－5)2+6lnx,故.
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6－8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y－16a=(6－8a)(x－1),由点(0,6)在切线上可得6－16a=8a－6,故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当03时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;
当2